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intégrales intermédiaires ; si l’on obtient deux identitésavec 
une seule des formes de f, l'équation proposée a seulement 
une intégrale intermédiaire de la forme considérée. Enfin 
si l'on n'obtient pas d'identités, l'équation proposée na 
pas d’intégrale de la forme considérée. 
Nous allons maintenant voir comment on détermine le 
premier membre de l'intégrale (2), quand les équations (6) 
et (7) sont vérifiées. Dans ce cas, l'élimination de trois des 
quantités z, p, q, r, s, t, entre les équations (4), (2), (5) 
conduit, comme nous l'avons déjà vu, à une équation dela 
forme (4), qu’on intègre par la théorie des équations aus 
dérivées partielles, du premier ordre, avec deux variables 
indépendantes. Cette équation donne la fonction g, Cesl- 
à-dire le premier membre de (2). Nous avons ainsi l'inté- 
grale intermédiaire de l’équation proposée, avec une fonc- 
tion arbitraire, introduite par (9) ou par (4). 
Nous ferons encore les remarques suivantes: 
1. Comme l'équation proposée est du premier degré pif 
rapport à r, s, t, l'équation (4) sera aussi du premier degré 
par rapport a2 et Ts parce que les formules (5) sout 
du premier degré par rapport à toutes ces quantités. 
2, Si les équations de condition (6) et (7) sont vérifiées 
nous pouvons annuler, dans les formules (1), (2» O+ 
deux des quantités z, p, q, r, s, t, qui doivent disparait® 
quand on fait l'élimination des autres, et effectuer ensull® 
cette élimination; laquelle est alors simplifiée. 
II. 
Nous avons considéré, jusqu'ici, le cas où l'éguatio" 
proposée (1) a une intégrale intermédiaire contenant P 
fonction arbitraire de x et y ; et nous avons fait voir q 
