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rait. C’est celui où les deux surfaces sont engendrées par 
des courbes de même espèce (‘) et ont une génératrice 
commune. 
Dans ce cas, comme nous le montrerons, les conditions 
du contact, du 4° ordre sont seulement au nombre de k, 
si l’on fait abstraction de celles qui expriment qu'une géné- 
ratrice est commune; et elles sont données par des rela- 
tions analytiques très-simples. 
En partant de ces relations, on peut établir un théorème 
remarquable, généralisation de celui de Hachette, sur le 
raccordement des surfaces gauches. Ce théorème, qui con- 
tient, comme cas particuliers, un grand nombre de proposi- 
tions connues, établies autrefois par Monge et ses disciples, 
et beaucoup de propositions nouvelles, peut s'énoncer 
ainsi : « Deux surfaces, engendrées par une courbe d'espèce 
donnée, dont les équations contiennent (n + 1) Fe 
mètres, ont un contact d'ordre k, le long d'une génératrice 
commune, si elles jouissent de cette propriété en n points 
de cette ligne. 
Nous allons établir ce théorème en supposant, pour plus 
de simplicité, n = 4, k — 2. On verra aisément que à 
démonstration est générale. 
M A 
(C) Deux courbes sont de même espèce si leurs équations 
(G,) g = f (Z, a, A, Bis Ci, D1), y = P (3, 2, Àn Bo C,, Di), 
(Ga) æ = f (z, a, Aa, Ba, C3, D3), Y = P (Z, &, Ag, Bas Css Dh, 
¥ et 
sont de même forme, mais contiennent des paramètres À, Br Me 
Az, Bas C3, D,, fonctions différentes du paramètre +. Lorsque p 
varier celui-ci, chacune des deux courbes se déplace, ou se déforme 
bien se déplace et se déforme. ft 
Les courbes (G,), (G,) coïncident quand on a, pour une même vale 
