10 DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME FONDAMENTAL 
Remarquons maintenant que si > est une racine primitive quelconque 
de x? = 1, +" en est une autre, tant que m” est non divisible par q; 
ainsi { (y, x) n'étant pas nul, quelle que soit la racine +, f(y, x") ne l’est 
pas non plus; 1l en serait de même si m était divisible par g, puisque 
alors f(y, +") se réduit à —1; par suite, après avoir multiplié les équa- 
tions précédentes, nous pourrons diviser de part et d'autre par 
fs a) f(: a) fQ, ai), 
ce qui donnera 
[FC a) [= Fu. oi) Co), 
en posant L(x) = »,(x)w,(2)...%, (2), de sorte que L (x) est une fonc- 
tion entière bien déterminée de + seulement. 
Si on suppose : = q — 1, alors en multipliant de part et d'autre par 
f(y, +), on aura au second membre f(y, 77°) f(y, x) ? (2); mais on a vu 
que f (y, 217") f(y, à) = p; donc on aura 
(11) [LG a) [° = FC), 
F (x) étant une fonction entière de + complètement déterminée quant 
à sa forme et dont tous les coefficients sont multiples de p. On pourra 
du reste, sans qu’il cesse d’en être ainsi, faire disparaître, au moyen de 
l'équation += 1, tous les exposants égaux ou supérieurs à q. Puis l'équa- 
tion restant exacte pour toute autre racine +’ dont la valeur serait +”, 1l 
en résultera également 
[@, a7)[° = FC), 
pourvu que n soit non divisible par g. 
Par suite, en nommant y une racine primitive quelconque de q, rem- 
plaçant à par ; dans la valeur de [fu a)’, on aura 
[Gus 2) T° = fa a) va), 
et par suite, en élevant à la puissance g, 
(12) ROIL = Fat) ÉOIR 
