18 DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME FONDAMENTAL 
$ 8. — NOUVELLE ÉQUATION DÉDUITE DE LA PRÉCÉDENTE. 
Aucun facteur primitif ne peut diviser à la fois deux des binômes 
æ + y, à + ya, à + yat, etc, car il diviserait z£ et z, puis s’il divisait 
x + ya" et æ + ya", il entrerait aussi dans leur différence yx"(1— 2") 
en supposant »m > m; d’ailleurs divisant 3, 1l ne peut entrer dans y, 
donc il diviserait «7"4"(l —- x”) et par suite 1 — "7", à cause de 
l'équation (22) il diviserait qg, donc les entiers z et g auraient un facteur 
commun. Or 
q q 
z +y q—1 g=2 Q—S à a g—1 
=L —x + x tr Pi D . 
z + y y y y ï 
Donc lentier N est premier à x + y, et leur produit étant (— 3)’, cha- 
cun est une puissance g exacte; on a donc 
N — z“ 
z' étant un diviseur de z, et par suite étant non divisible par g; æ + y 
est aussi non divisible par qg. De plus N et z' ne peuvent être + 1. C’est 
évident si x et y sont de signe contraire, 7", &‘—"y, etc., élant tous de 
même signe; si x et y sont de même signe alors si N = + 1 cela suppose 
d+p=N(x+y)= x + y numériquement, et par suite il faudrait 
qu'on eût æ = 1, y = 1, sans quoi x! > x, y! > y, el il en résulterait 
21 = — 9, 
Maintenant N ne peut être divisible par un nombre premier apparte- 
nant par rapport au module g à un exposant > 1, car alors le nombre 
des facteurs primitifs qui lui correspondent serait < qg — 1, el par suite 
l’un d'eux entrant nécessairement dans æ + ya, æ + yx' conlendrait le 
À 0 D - 
précédent, æ + ya’ le précédent et ainsi de suite, de sorte qu'avant 
d'arriver à x + yat ‘on aurait trouvé un autre de ces binômes contenant 
le même facteur primitif que x + yx, ce qui est impossible. Par suite 
tout diviseur premier de N a la forme fg + 1. Enfin tout facteur primi- 
tif qui entre dans un de ces binômes y entre un nombre de fois multiple 
