28 DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME FONDAMENTAL 
puis 
A +y = 2%, (A — x +y—= x — y, 
ainsi la condition trouvée revient à ce que (x — y)b,,(v) soit divisible 
par g. Mais si l’on avait employé dans tous les calculs du paragraphe 
précédent x et z ou y et z au lieu de x et y, on serait arrivé à des con- 
ditions analogues, et T,, restant le même, (1 — 2)4,,(v) devrait toujours 
être — 0 (mod. g). Donc si l’on détermine des entiers v, v', v’ par les 
conditions 
(30) ay = + y), 2 =0 (+2), ys = v'(y +2), 
on devra avoir à la fois 
(Z— Y)bn(2) —=0, (t — 2)ba(v) = 0, (y — 2)hn(t") —0 (mod. g). 
On ne peut avoir à la fois x = y —= :, car il en résulterait 3x — 0, 
mais deux des nombres x, y, = peuvent être équivalents; supposons par 
exemple y — 2; alors on aura æ — — 2y, et comme æ — y,x —z sont 
non divisibles, on devra avoir L,(v) — 0, ?,(v) — 0, v et v' étant don- 
nées par les équivalences — 2ÿ° — 0", — 2y° = vy", d'où v—v——2, 
d’où résulte L,,(— 2) = 0 (mod. g). 
Il ne nous reste à examiner que les cas où æ — y, x — 2, y — = sont 
non divisibles par q, de sorte qu’on aura 
Ef)—=0, D) =0, nf) = 0. 
Examinons le cas particulier où les trois expressions (28) seraient 
divisibles par g; les formules (30) deviennent alors 
ay —= V2? + Qry + y") —= vxy, où v—=]1, 
on aurait de même 
L 4 
v V4) Lido YA) = 0. 
Enfin supposons les expressions (28) non divisibles par g; les formules 
(30), en substituant x + y = — £, etc., deviennent 
(31) y = UE, = VYy, yr == Va. 
