RELATIF AUX FACTEURS PBIMITIFS, ETC. 29 
Il n’est pas possible que deux des nombres », v', v” soient équivalents 
suivant le module g. En effet, si lon avait par exemple v — v, les for- 
mules (31) donneraient xy — x3 —= v(z* — y°), et divisant par ÿ — z 
qui n’est pas multiple de q, on aurait æ — — v(y + 3), où à —= vx, ou 
dv —=1, et par suite ty (2 + y), où + xyÿ + J' —0, contre l'hy- 
pothèse. De plus en multipliant les trois formules (31), ou les deux pre- 
mières on aurait &°y°3 —=vv0 x" y"3", d'où vvv —= 1, z'yz — vv'y'z", ou 
æ'—= 00 yz, OÙ & — wxyz, de même on trouverait y —= w’Xyz, 
3° —= v'o'xys, et substituant dans équivalence (29), on aurait vo + 
00” + 00 — 5. 
Dans l'ignorance où nous sommes de la nature des nombres x, y, z, 
nous pouvons seulement affirmer que l’un ou Pautre de ces cas se réa- 
lisera, c’est-à-dire que : ou l’équivalence L,,(v) — 0 (mod. q) aura une 
racine égale à — 2, ou elle aura une racine égale à 1, ou elle aura 
trois racines non équivalentes », v', v’, satisfaisant les relations 
(32) WW" = A, vo Hu" +vv"—=3 (mod. q). 
Examinons en premier lieu à quelle condition cette dernière hypo- 
thèse pourrait se réaliser; il est clair qu'aucune des quantités v, v' v” ne 
peut être —= 0, puisque vv'v" —= 1, par suite on peut ôter à b,(v) le fac- 
leur commun qui entre dans les valeurs (27); mais », v, v” élant non 
bte) 
équivalentes, ces trois solutions ne peuvent exister à moins que " 
V 
soit au moins du degré 3, c’est-à-dire quand m — ou > 9. Ensuite en 
remplaçant pour un instant v par l’indéterminée +, on aura pour m —9, 
(10 
v 
— 0, Où Qt — ba + ex —d—= 0, 
ainsi g ne peut diviser a, car l’équivalence, réduite au second degré, ne 
pourrait avoir trois solutions qu’en étant identique, or cela n’a pas lieu 
puisque d = 1. Le premier membre divisé par x —v, donne un quotient 
entier, a&° + elc., et un reste multiple de g, le quotient doit encore être 
divisible par g pour x = v', ainsi en le divisant par x — v', on a encore 
