32 DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME FONDAMENTAL 
S 12. — PREMIÈRE RÉDUCTION DES CONDITIONS RELATIVES A T,. 
D’après ce qui précède, si l'équation x? + y? + 3° = o a des solutions 
en nombres entiers premiers à g, et qu’en même temps q n'ait pas l’une 
des valeurs particulières indiquées plus haut, l'expression T,, devra être 
divisible par g pour certaines valeurs impaires m = 3, ou 5, etc. D’une 
manière plus générale, nous allons admettre pour un instant que pour 
une valeur déterminée du nombre "», T,, doive être divisible, et pour 
plus de simplicité nous admettrons que m puisse être l’un quelconque 
des nombres 1, 2, 3 .... (g — 2), quoique nous sachions que si m — 1 
la condition correspondante n'aura point à être employée dans la pra- 
tique. Nous savons déjà que T, est divisible si m est pair; il sera toute- 
fois plus simple pour les transformations suivantes de ne tenir aucun 
compte de cette circonstance. 
L'expression T,, pour une même valeur de »m a un grand nombre de 
formes diverses; les nombres a,, 4, ... qui y entrent peuvent être b,, 
b,, etc. ou c,, c,, etc.; puis ces derniers contiennent des nombres à, # 
deux autres comme non = + 1 (m. 16). Donc æ = 0 (m.5); donc æ = 15 ou 65 (m. 80), reste à 
essayer 15, 65, 95, 145, 175; 15 = 0 (m. 3), 65 = 2, 145 = — 2, 175 — 0 (m. 7). Reste seule- 
ment 95 qui vaut — 4 (m. 11); donc on aurait 4? = 16 = 5, p = 1, d'où y? = 7 (m. 11), ce qui 
est impossible. 
20 Soit p — 75571, si q est un de ses diviseurs premiers, les exclusions se présentent d’elles- 
mêmes avec une facilité singulière, à cause des fermes suivantes, qui se déduisent aisément les 
unes des autres : 
p = (274)? + 495 — (273)? + 1049 — (272)? + 1587, p — (275)? — 54 — (276)? — 605 
ainsi ce facteur q aurait pour résidu — 495, — 1587, 54, 605, ou —83?. 5. 11, — 3. 23°, 2.3°, 5.11?, 
et comme il ne peut être 3, 5, 11, 23, il aurait — 5.11, — 3, (— 2)( - 3), + 5, et par suite — 2, 
— 3,+-5, — 11; il doit donc être = 1 ou 3 (m.8), = 1 (m.3), + 1 (m. 5), 1,3, 4,5, ou 9 (m. 11). 
En réunissant les deux premières conditions, il doit être = 1 ou 19 (m. 24); en y joignant la troi- 
sième, on aura qg = 1, 19, 49 ou 91 (m. 120); d’ailleurs q < 274. Il ne reste entre ces limites que: 
les nombres 
19, 49, 91, 121, 139, 169, 211, 241, 259 
et ceux qui satisfont la condition relative à 11 sont 49, 91, 169, tous non premiers. 
