40 DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME FONDAMENTAL 
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Si l’on dispose des coefficients de manière que ceux de x,,2,, 
soient les mêmes dans les deux membres, on trouvera 
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La valeur de À; ainsi déterminée est une constante absolue, indépen- 
dante de x el aussi de m, et dépendant seulement de lindice 2; et ces 
coefficients ainsi choisis, 1l suffit que l’équation (33) soit exacte pour 
une valeur de æ pour qu’elle le soit pour x + 1; or elle l’est bien pour 
x = 1, puisqu'elle se réduit à 
A A, 
LE Ml) à 
qui est l’une des équations (34. 
Or s’, est la somme 1" +... + (g — 1)" ou f(q, n + 1), dans 
laquelle n < q — 2, ou m <q —1, m +1 < g. Il est évident, d'après 
les équations (34), que si l'indice 2 est < q, le dénominateur de la 
valeur de À, ne peut être divisible par g, car si cela est exact pour les 
fractions précédentes À;., etc., il en sera de même pour A; Donc en 
remplaçant x par q dans l’équation (33), m élant < g — 1, on voit 
qu'aucun des dénominateurs de A,, À,,... À,.,, n'est multiple de 7; 
par suile tous les termes du second membre sauf le dernier, et par suite 
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leur somme ont la forme D À el A’ étant des entiers, et A’ non divi- 
A An A 
+ : ++ … 
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sible par g; le dernier terme étant À,,,9, on voit que si le numérateur 
de À,,., est multiple de 4, il aura encore la même forme et il en sera de 
même de f(g, m) ou s’,; d'ailleurs cette forme . devant se réduire à un 
entier, À divisera À, et s’, sera multiple de 4°. Si au contraire le numé- 
