RELATIF AUX FACTEURS PRIMITIFS, ETC. 47 
1° Nous allons démontrer que si E est formé du produit de quelques- 
uns des facteurs €, à la première puissance, les valeurs de E ne peuvent 
être toutes de même signe à moins que tous les L facteurs c, ...c,_, ne 
s’y trouvent, auquel cas ce signe est celui de leur produit total, qui est 
toujours négatif. En effet supposons constant ce signe de E sans que 
CC + : > Ci 
tous les facteurs soient employés; comme celui de le serait 
aussi, il suffit de prouver l'impossibilité de l’hypothèse en admettant 
que le nombre de facteurs soit au plus <- De la sorte pour g = 5 ou 7 
il en aurait 1; pour g — 11, au plus 2, et l’impossibilité est manifeste 
d’après le tableau des signes; pour g > 11, il convient de diminuer le 
nombre des essais, et pour cela considérons le premier cas où pour 
chaque groupe on prendrait ou tous ses facteurs ou aucun pour former 
E; alors dans les valeurs successives E,, elc., chaque groupe serait rem- 
placé simplement par le suivant, et comme leurs signes, c’est-à-dire le 
produit des signes qui les composent sont —, +, — pour g = 13; +, 
+, —., + pour g = 17; +, —, + pour q = 19, l'impossibilité est encore 
manifeste. Il faudrait donc que dans certains groupes on n’eût choisi 
qu'une portion des facteurs; alors le produit Ê = EE, pour g = 13 et 
E'— EE, pour q — 17 devrait avoir toutes ses valeurs positives. Or suivant 
que dans un groupe on aurait pris deux facteurs ou un ou aucuu pour 
former E, chacun entrera dans E’ avec l’exposant 2 ou 1 ou o, et pour 
un au moins cet exposant serait 1, sans pouvoir l’être cependant pour 
tous, puisque alors E’ serait négatif; par suite en supprimant dans E' les 
facteurs à exposants pairs, toujours positifs, il présenterait l’impossibi- 
lité déjà démontrée dans le premier cas. 
De même pour g = 19, le produit E = EEE, aurait pour signe 
constant celui de E; or suivant que dans un groupe on aurait pris trois 
facteurs ou deux ou un ou aucun pour former E, les trois facteurs entre- 
raient dans E’ avec l’exposant 3 ou 2 ou 1 ou o. En remplaçant les 
exposants 3 par À et 2 par o, E’ aurait encore un signe constant, et 
comme cette nouvelle expression rentre dans le premier cas, il faut que 
