48 DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME FONDAMENTAL 
tous les exposants soient = o ou tous = 1, c’est-à-dire qu'avant la sub- 
stitution tous les exposants fussent pairs et E positif, ou tous impairs et 
E négatif. 
D'ailleurs comme dans E il ne peut entrer plus de quatre facteurs 
on est réduit à faire les hypothèses suivantes sur les facteurs choisis 
pour E : 
1° ou deux facteurs dans un seul groupe, et E positif, 
2 ou deux facteurs dans deux groupes, et E positif, 
3° ou un facteur dans chaque groupe, et E négatif. 
Dans le premier cas, E, E,, E, contiendraient deux facteurs d’un 
même groupe mais échangés entre eux et le signe changerait. 
Dans le second cas, on aurait parmi les valeurs de E celle où les 
oroupes seraient les deux premiers, et les facteurs du premier seraient 
c,c,; il faudrait alors que ceux du second fussent c,c,; mais alors on 
AURAI E =10 ce CN ONE 0; Cit,c! 0. 
Dans le troisième cas, si deux facteurs sont consécutifs on peut faire 
en sorte que ce soit c,c, et le troisième pris dans le troisième groupe ne 
peut être que c,; mais alors tous trois sont consécutifs et une autre 
valeur de E est cc,c, qui est > o. 
S'il n’y a pas deux facteurs consécutifs, quoiqu'ils soient pris dans 
trois groupes différents, il est aisé de voir que E ne peut être que l’une 
des valeurs successives de ce,c,; or ce,c, > 0. 
20 La proposition précédente sert à démontrer qu’une unité réelle ne 
peut avoir toutes ses valeurs positives sans être le carré exact d’une 
autre unité réelle. En effet Loute unité réelle est exprimable par un pro- 
duit de puissances de c, c,,.. c,_;, les exposants étant entiers et positifs, et 
il suffit de vérifier qu'il ne peut s’en trouver d’impairs; et en effet en 
remplaçant ceux-là par 1, et les exposants pairs par 0, l'unité devrait 
encore avoir loutes ses valeurs positives, ce qui est impossible. 
3° On peut toujours former une unité réelle dont les diverses valeurs 
aient des signes assignés d'avance. 
En effet cherchons-en une E dont toutes les valeurs aient le même 
