50 DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME FONDAMENTAL 
remplaçant & par à. Dans ce paragraphe nous supposerons connu 
un nombre complexe (x) dont la composition idéale soit 06,, et c’est 
au moyen de celui-là et de 4(+) dont la composition est 09, ... 4,_, que 
nous devrons trouver le nombre inconnu 4. Nous verrons plus tard 
comment (x) peut s’obtenir dans la pratique. 
Il nous faut en premier lieu préparer (x), (x) de manière qu’ils 
puissent bien être regardés comme égaux à 0 ...0,_, et 09,, et non pas 
seulement comme ayant la même composition idéale. Il suffira pour 
cela, comme on va le voir, de multiplier + (x) par une unité convena- 
blement choisie. 
1° En substituant à — 1 —— (1 — x), toute puissance +” prend la 
forme 1 —— m(1 — à) + mult. (1 — x)", et cela reste exact si m est néga- 
tif, car g étant divisible par (1 — à)°, on à à" = of" = 1 —(q — m) 
(A — 2) + mult (À — à) = 1 + mi — à) + mult. (1 — 2). De là 
résulte que les quantités a, a, ... ont toutes la forme 2 + mult. (1 — 2)’, 
et par suile les quantités €, c,, c,... la forme y + mult. (1 — 2)", y étant 
toujours —2 pour g— 5, 11, 13, 19, et = 3 pour g = 7 ou 17. 
Or le nombre complexe inconnu 8 peut certainement être mis sous la 
forme s + s,(1 — x) + mult. (1 — 2), s ne pouvant être divisible par 
qg, Sans quoi la norme le serait; par suite 02" = s$ + (s, — ms)(l — à) + 
mult. (4 — 2), et si l’on dispose de m de manière que s, — ms = 0 
(mod. q), le résultat a la forme s + mult. (1 — :)'; enfin en le multi- 
pliant encore par c” qui a la forme +” + mult. (1 — &)°, 1l sera sy" + 
mul. (1 — x), mais on peut disposer de # de manière que sy —1 
(mod. g). Ainsi en nommant lle résultat quia la forme 1 + mult. (1—2)", 
nous voyons que + est le produit de 0 par une unité et par suite a encore 
pour norme p. Toute autre forme de 0 sera le produit de par une 
unité. Nommons +,, L,, .,.les autres valeurs de +, déduites comme 0,, 
le sont de 0; posons bb, ...d,_, — w’(x); alors w(x) et w’(x) ont la même 
composition idéale; s'ils n'étaient pas égaux on aurait (x) = w”(x)E(x)x", 
E(a) étant une unité réelle; maiscomme on a en même temps o(x)p(a) = 
p. g’(a)o" (x) = p, il faudrait qu’on eût aussi E(x)E(x 7") = 1 ou E(x) = 
