RELATIF AUX FACTEURS PRIMITIFS, ETC. o1 
1, ou g(a) = + 29" (x), mais & et +’ ayant la forme 1 + mult. (1 — à), 
il en résulterait 1 = + 1 & m(l — à) + mult. (1 — 2), d’où résulte 
que le signe + est + et que »m = 0; donc o(2) = w(2). 
Toutefois on aurait encore w(a) = 00,...0,_,, en prenant pour 6 
une forme autre que b. Supposons par exemple 0 = 4 X E(a), E(a) étant 
une unité réelle; alors 09, ...0, , contiendra outre w’(+) ou w(7) le pro- 
duit de valeurs consécutives de cette unité, produit qui devra être + 1. 
Or pour toute unité réelle ce produit est + 1, et pour distinguer les 
deux cas il suffit de remarquer que si s est la somme des coefficients des 
divers termes de E(a), cette quantité peut se mettre sous la forme s + 
mult. (1 — 2), et le produit ci-dessus sera s° + mult. (1 — 4); cette 
quantité étant nécessairement égale à + 1, il suffit pour qu’elle le soit à 
+ 1, qu'on ait st — 1 (mod. q), ou que s soit résidu de g. Moyennant 
celle condition, en posant 0 = L.E(:), nous pourrons regarder g(x) 
comme égal au produit 60, ...0,_.. 
20 Quant à v(x) qui doit en même temps être égale à 90,, ou &L,E(a)', 
il faut en premier lieu qu’elle ait toutes ses valeurs réelles et positives, 
puisque dl, est le carré d’un module; alors elle sera une fonction 
linéaire de a, a, ...et par suite de la forme $s + mult. (1 — à), s étant 
la somme de ses coefficients ; 11 faudra de plus que lon ait s = s° + 
mult. (1 — «)', ou s = s° + mul. g, ou enfin, s étant déjà résidu, il faut 
que s’ soit équivalent à une puissance quatrième suivant le module g. 
D'autre part ces conditions sont suffisantes. En effet supposons-les satis- 
faites; (x) et L, ayant la même composition idéale et loutes deux 
ayant toutes leurs valeurs réelles et positives, le rapport de la première 
à la seconde sera une unité réelle ayant toutes ses valeurs positives ; 
par suite, comme nous l'avons vu au paragraphe précédent, elle sera le 
carré d’une certaine unité E(c), de sorte qu’en nommant s la somme des 
coefficients de celle-ci on aura o' (2) = LL,E(c)", et par suite s = s° + 
mult. (1 — +)", et comme s est équivalent par hypothèse à une quatrième 
puissance k°, on aura s° — h' (mod. q), et par suite, en remplaçant au 
besoin E(a) par — E(a), on pourra supposer s — h*; alors s étant résidu, 
