56 DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME FONDAMENTAL 
que lune d’elles soit nulle. On répétera les essais jusqu’à ce que la norme 
correspondante se trouve bien égale à p. 
Pour qg = 7, par exemple, f étant 2 il faudra qu’on ait 
Ge + ys + 25) + ys, + 25,)(œ + ys, + 28) — p, 
et comme on a 
ÉCART EEE RE 
? 
celte équation peut s’écrire ainsi sous forme entière 
D — à y — dx — Day? — Dr? + Sxyz + Y° + 2° — 4y°2 L Sy — p, 
ou 
a(® + y + 2x — 2y — 22) + (y + 2) + Te — yhys = p. 
Puis si f = 1, on aura alors à chercher six nombres w, u, ...u,, dont 
le premier est tel que u° — 1 (mod. p) sans que u — 1, et les suivants 
s’en déduisent par la relation u,,, —u;" (mod. p); on devra alors opérer 
comme pour f = 2 en prenant 
U=uLan UV, = ue Ta u bu, 
Seulement le facteur &(+) étant obtenu, il faudra en tirer 9 comme au 
paragraphe précédent. 
$ 21. — Cas où q = 5. 
L’équation à résoudre en nombres entiers est dans ce cas 
(æ + ya)(x + ya) —p, où a —ay —#ÿ —p. 
Nous savons d'avance, p ayant la forme 5n + 1, qu'elle doit avoir des 
solutions, ce qu’on pourrait d’ailleurs démontrer par la théorie des 
formes binaires; mais cette existence une fois constatée, on résoudra 
par un procédé plus simple. Avant de Pexposer, nous devons faire les 
remarques suivantes : 
10 L’équation 
L— Su? — 4p 
a aussi des solutions, puisqu'il suffit de prendre 
DR au. 
