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On integre la premiere en se donnant les valeurs de z et As sur le 

 contour, tandis que pour toutes les autres equations z t et As,- sont mils 

 sur C, La serie 



est convergente, si C est suffisaminent petit, et represente V integrate de (2) 

 correspondanl aux valeurs donnees de 



sur le contour C. 



» 3. II est maintenant aise d'indiquer la marche a suivre pour etablir le 

 theoreme general enonce au n° I. Soit une integrate z de l'equation (2), 

 bien determinee et continue ainsi que ses derivees partielles des quatre 

 premiers ordres dans une certaine region autour d'un point A appartenant 

 a R. En tra^ant un contour C suffisamment petit autour de A, 1' integrate se 

 trouvera completement determinee par ses valeurs et celle de son A sur C; 

 on pourra done en avoir une representation analytique precisement donnee 

 par la serie formee plus haut 



Chaque terme de cette serie est une fonction analytique de x et y dans C, 

 et il est facile de voir qu'ici la serie sera ellc-meme une fonction analytique 

 des variables. Le theoreme est alors etablir 



» Une proposition de la nature de celle qui vient de nous occuper parait, 

 a premiere vue, difficile a demontrer, parce qu'onn'a pas immediatement 

 une representation de l'integrale. Des approximations successives conve- 

 nablementdirigeespermettent,comme on vient de le voir, d'obtenir cette 

 representation et la demonstration devient alors tres simple. Une fois assure 

 de la nature analytique des integrates, on peut eri indiquer des representa- 

 tions de formes tres diverses. M. Borel a donne recemment a ce sujet une 

 formule tres curieuse et an premier abord paradoxale dans une interes- 

 sante Note inseree au Bulletin des Sciences mathematiques (juin 1893). 



» Nous nous sommes borne a n = 4« W est clair que pour w= ip, on 

 mettra Tequation sous la forme 



A,A,...A,a =/(«), 



les A ctant de meme forme que plus haut, et f(z ) ne contenant pas de de- 

 rivees partielles d'ordre n. » 



