( 44 ) 



drique, une propriete geometrique des courbes pr^cedentes que nous de- 

 sfgnerons dans ce qui suit sous le nom de courbes (/>); enfin, Ribaucour a 

 rattache (* ) la determination des courbes (D) sur les cyclides a sa theorie 

 des surfaces pour lesquelles les lignes (D) peuvent etre accouplees eta 

 montre ( 2 ) que si Ton trace sur une surface (S) une courbe (D), chacun 

 des plans osculateurs de cette courbe coupe (S) suivant une section suros- 

 culee par un cercle. 



» Nous avons cherche a etendre le nombre des surfaces sur lesquelles 

 on peut determiner les courbes (D) en nous inspirant des recherches 

 faites sur les ds 2 pour lesquels on determine les geodesiques. Si, sur une 

 surface rapportee a un reseau coordonne (m, t>), nous definissons les geo- 

 desiques par Tequation 



dm -+- rdu -+- r t dv ----- o, 



ou nous adoptons, ainsi que dans tout ce qui va suivre, les notations du 

 Livre V des Lecons de M. Darboux, et si nous nous proposons de trouver 

 une fonction 9 de u et de v telle que toutes les courbes integrales de l'equa- 

 tion differentielle du premier ordre 



(I) «• = , 



soient des geodesiques, on trouve immediatement, en supposant le re- 

 seau (u, v) orthogonal, pour simplifier l'ecriture, et en tenant compte des 

 equations de Godazzi, que la fonction <p est definie par l'equation 



( . (XAcoscp) _ ^(Gsincp) 



V 2 ^ " dv ~ du 



qui, en introduisant une inconnue auxiliaire 6 dont les deux derivees par- 

 tielles sont respectivement A cos<p et Csincp, conduit a la suivante : 



qui sert de base a la methode de Jacobi. 



)> Cherchons, de meme, a determiner une fonction <p de u et de v telle 

 que toutes les courbes integrales de l'equation differentielle du premier 

 ordre (1) soient des courbes (D); rapportons la surface a ses lignes de 



(') A. Ribaucour, Notice sur ses travaux mathematiques, p. 26; 1873. 

 ( 2 ) A. Ribaucour, Proprietesde courbes tracees sur les surfaces (Comptes rendus, 

 1. LXXX, p. 642; i8 7 5). 



