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 courbure et designons par a et a! les inverses des rayons de courbure prin- 

 cipaux R et R'; nous obtenons, pour determiner o, l'equation 



(4) ^[A(fl'-«)sin» 9 ] = ^[C(rt^a)co a -rt 



qui conduirait a une equation analogue a (3) par l'emploi d'une inconnue 

 auxiliaire. 



» La theorie des courbes (p), de M. Darboux, depend surtout, on le voit, des 

 deux fonctions k(a ' — a) et C(a' — a). 



» Laissant de cote, pour le moment, la consideration de ces fonctions 

 dont la substitution a A et a G dans les equations de Codazzi conserve a ces 

 dernieres leur forme simple, nous voyons que si Ton connait une solution 

 de l'equation (4) renfermant une constante arbitraire, l'integration de 

 l'equation (i) donnera des courbes (D) dependant de deux constantes 

 arbitraires. 



a Si done on veut determiner des cas ou la determination des 

 courbes (D) pourra, soit s'effectuer, soit se simplifier, il suffit de re- 

 prendre pour l'equation (4) la theorie des integrales de forme determinee 

 exposee pour les geodesiques au Livre VI des Legons de M. Darboux. 



» Nous dirons qu'une fonction /(coscp, sin 9, u, v), homogene et de 

 degre m par rapport a cos 9, sincp, est une integrate homogene de degre m, 

 si, pour toutes les valeurs de la constante k, la fonction <p tiree de l'equa- 

 tion 



/(cos<p, sin 9, m, v) = k 



satisfait a l'equation (4). 



» Celte definition etant posee, on petit enoncer la proposition suivante 

 qui met en evidence des surfaces dont on pent determiner les courbes (D) : 



» Les surfaces pour lesqueltes le probleme de la recherche des courbes (D) 

 admet une integrate entiere homogene du premier degre sont celles pour les- 

 quelles toutes les lignes de courbure sont des cercles geodesiques ; la cy elide de 

 Dupin et les surfaces, telles que le tore, dans lesqueltes elle peut degenerer, sont 

 les surfaces pour lesqueltes it exist e une infinite de pareilles integrales. 



» II est digne de 1 emarque que les surfaces admettant une integrate en- 

 tiere homogene qui est, soit du premier degre, soit du second degre, jouis- 

 sent de la propriete que leurs courbes (D) sont accouplees; la proposition 

 de Ribaucour, relative aux cy elides, conduit a la suivante : 



» Les quadriques et les cyclides sont des surfaces pour lesquelles le probleme 



