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ANALYSE MATHEMATIQUE. — Sur V integration des equations differentielles 

 ordinaires. Note, de M. Alf. Guldberg, presentee par M. Picard. 



« La theorie d'integration d'Euler repose, comrae on sait, sur la deter- 

 mination d'un multiplicateur, au moyen duquel on transforme l'equation 

 differentielle donnee en une equation differentielle exacte. Cependant, la 

 determination dece multiplicateur exige, pour les equations differentielles 

 d'un ordre plus eleve que le premier, la solution d'equations aux derivees 

 partielles si compliquees que la methode est diffieilement realisable. Mais 

 il y a aussi d'autres fonctions qui possedent la meme propriete que le mul- 

 tiplicateur d'Euler et qui ont, en considerant l'equation differentielle 

 comme une equation aux differentielles totales, au moins pour les equa- 

 tions d'un ordre plus eleve que le premier, un avantage indiscutable sur 

 le multiplicateur d'Euler, en nous permettant de transformer l'equation 

 differentielle donnee en une equation aux differentielles totales complete- 

 ment integrable. 



» Je me permets de faire, dans les lignes qui suivent, quelques remar- 

 ques sur ce sujet. 



» Soit donnee l'equation differentielle du deuxieme ordre 



(i) F(/',y, 7 ,^) = o, 



ou F est lineaire par rapport a y" . L'equation F = o peut s'ecrire sous la 

 formed' une equation aux differentielles totales 



ou R, Q, P sont des fonctions de x, y y y' . 

 » En ajoutant 1'identite 



"(/. 7> x ) dy - *(/, y, x)y dx = o, 

 on aura 



ft <y+(Q H- *)dy+ (P - xy')dx = o. 

 » Supposons <x choisi de maniere que cette equation aux differentielles 

 totales soit completement integrable, c'est-a-dire 



^ \0y dx y Oy dx) ~ °' 



