GEOMETRIE. — Sur les surfaces algebriques admetlanl un groupe < 



transformations birationnelles en elles-memes. Note de MM. G. Castel- 

 nuovo et F. Enriques, presentee par M. Picard. 



« C'est a M. Picard que Ton doit la theorie generale des surfaces qui 

 admettent des transformations birationnelles en elles-memes (' ). 



» Ce savant a considere en particulier le cas ou le groupe de transfor- 

 mations se compose de cc 2 transformations deux a deux echangeables, et il 

 est parvenu a la classe si interessante des surfaces hy p ere Hip liq ties, dont 

 les travaux de MM. Picard et Humbert nous ont fait connaitre les remar- 

 quables proprietes. Dans les autres cas, M. Picard amontre que la surface 

 contient un (ou plus qu'un) faisceau de courbes rationnelles ou elliptiques, 

 et il en a profite pour etudier la representation parametrique de la sur- 

 face par les fonctions abeliennes. C'est precisement ce dernier cas que nous 

 nous proposons d'approfondir au point de vue geometrique. 



» Nous parlons toujours, dans la suite, de groupes algebriques de trans- 

 formations; ce n'est pas la Line restriction que nous imposons a notre sur- 

 face; en effet, on demontre aisement que si un groupe continu de trans- 

 formations birationnelles d'une surface algebrique en elle-meme n'est pas 

 algebrique, il est cependant contenu dans un groupe algebrique plus 

 ample, auquel nous pouvons toujours nous rapporter. L'on voit aussi que 

 le groupe plus ample de transformations (de la surface) deux a deux 

 echangeables, auquel appartient une transformation donnee,est lui-meme 

 algebrique. 



)> Cela pose, nous avons plusieurs cas a distinguer par rapport aux 

 groupes continus de transformations birationnelles d'une surface en elle- 

 meme. 



» I. Le groupe (algebrique) depend d'un seul parametre. — Les cc 1 trans- 

 formations forment alors une serie algebrique qui admetcc' transformations 

 birationnelles en elle-meme, car le produit d'un element (transformation) 

 de la serie par une transformation du groupe donne est un nouvel ele- 

 ment de la serie; done, d'apres un theoreme de M. Schwarz, la serie (le 

 groupe) a le genre zero ou un. En correspondance, on a sur la surface un 



(' ) Himoire sur la thvorie des fonctions algebriques {Journal de Math., 1889); 

 Comptes rendus. mars .8<h: lU-ndicnnli del Circolo Mat. di Palermo, -iugno j8q5. 



