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 faisceau de courbes de genre zero ou un ( toutes du meme module), courbes 

 decrites par les points de la surface lorscm'on les transforme par les trans- 

 formations du groupe; par chaque point de la surface, il passe unecourbe 

 de ce faisceau. 



» Or ces courbes sont toutes de genre zero si telle est une entre elles 

 qui soit lieu d'un point mobile (alors meme qu'il y aurait plus d'une 

 transformation permettant de passer d'un point a un autre sur cette courbe; 

 car, dans tous lescas, on voit que la serie des transformations doit etre ra- 

 tionnelle). 



» On parvient a la meme conclusion, si Ton connait un point simple de 

 la surface qui reste fixe dans toutes les transformations, car on peut tou- 

 jours choisir une serie rationnelle d'elements infiniment petits autour de 

 ce point, serie que le groupe change en elle-meme. On a done ce theo- 



» Si une surface algebrique admet un groupe {algebrique) dependant d'un 

 seul parametre de transformations birationnelles en elle-meme, la surface : 



» a. Contient un faisceau de courbes de genre un, toutes ayant le meme 

 module, et n'a pas de points simples fixes; 



» b. Ou bien elle contient un faisceau de courbes de genre zero, et {d'apres 

 M. Nother), elle peut etre transformed en une surface re glee ou en une surface 

 ayant un faisceau de coniques. 



» II. Le groupe de transformations depend de m > i parametres, mais il 

 est une seule fois transitif (e'est-a-dire qu'il ne permet pas de passer d'un 

 point quelconque de la surface a un autre point donne). 



» En fixant alors sur la surface m — i points, on deduit du groupe un 

 sous-groupe a un seul parametre qui est rationnel, d'apres le theoreme pre- 

 cedent. Done : 



» Une surface algebrique admet tant un groupe algebrique de transforma- 

 tions birationnelles en elle-meme, groupe qui depend de plusieurs parametres et 

 qui est une seule fois transitif, peut £tre transformed en une surface reglee ou 

 en une surface avec un faisceau de coniques. 



» III. Le groupe de transformations depend de deux parametres et il est 

 deux fois transitif. — Si les transformations sont deux a deux echangeables, 

 on a, comme nous l'avons dit, les surfaces que M. Picard a specialement 

 etudiees. Ce cas excepte, chaque sous-groupe du groupe donne est forme 

 par co 1 transformations qui sont echangeables deux a deux, et il est par 

 suite algebrique. En correspondance avec les oo 1 sous-groupes, on a sur la 

 surface cc 1 faisceaux de courbes algebriques C. 



