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» Or s'il y a une seule transformation du groupe qui change un point 

 donne sur la surface en un autre point donne, alors par deux points quel- 

 conques de la surface il passe urie seule courbe C; d'ou Ton deduit aise- 

 ment que les courbes C ont le genre zero, et que leur systeme cc 2 est 

 lineaire; la surface elle-meme est par suite rationnelle (unicursale). Si, au 

 contraire, on peut passer d'un point donne sur la surface a un autre point 

 par plusieurs transformations, on n'a qu'a repeter le meme raisonnement, 

 non plus sur la surface, mais sur la variete algebrique formee par les cc 2 

 transformations, puisqu'il y a une seule transformation qui permet de pas- 

 ser (par multiplication) d'un element donne de cette variete a un autre 

 element. On voitainsi que le groupe cc 2 des transformations est rationnel, 

 et chaque sous-groupe co 1 est de meme rationnel; on conclut done, en 

 revenant a notre surface, que les courbes C (correspondant a ces sous- 

 groupes)sont rationnelles, et sedivisent en oo 1 faisceaux rationnels; enfin 

 (d'apres M. INother), la surface est encore unicursale. 



» Si une surface algebrique admet un groupe algebrique dependant de deux 

 parametres et deux fois transitif de transformations birationnelles en elle-meme : 



» a. Ou les transformations sont deux a deux echangeables , et la surface 

 appartient a la classe des surfaces hyperelliptiques {et degenerescences) ; 



» b. Ou bien e'est le contraire qui arrive, et la surface est rationnelle. 



» IV. Le groupe de transformations depend de m = 3 parametres, et il est 

 plus qu une fois transitif — En fixant sur la surface un nombre convenable 

 de points et (s'il le faut) de directions partant de ces points, on deduit 

 toujours du groupe un sous-groupe algebrique a un seul parametre; en 

 correspondance (cas I) on a sur la surface un faisceau de courbes ration- 

 nelles. Or si le faisceau change en changeant les points fixes, on deduit, 

 comme ci-dessus, que la surface est rationnelle; si, au contraire, le fais- 

 ceau ne change pas, les courbes dont il est forme sont permutees entre elles 

 par les transformations du groupe, et le faisceau doit etre de genre zero 

 ou un; dans le premier cas la surface est encore rationnelle. Enfin, on a 

 le theoreme : 



» Si une surface algebrique admet un groupe (fini, continu) dependant de 

 m>3 parametres et plus qu une fois transitif de transformations birationnelles 

 en elle-meme, la surface est rationnelle, ou peut etre transformed en une sur- 

 face re glee de genre un, o\t en une surface contenant un faisceau elliptique 

 de coniques. » 



