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 transformation infinitesimale est definie par les fonctions rationnelles X, 

 Y, Z de x, y, z. Ecrivons le systeme 



(2 ) g = X ( w ), f = Y (w) , ^.»zc*.y.«). 



» M. Picard a montre (Memoire Sur les fonctions algebriques de deux va- 

 riables, p. 80-88) que deux cas sont possibles : 



)> i° Ou bien les coord onnees x,y, z s'expriment en fonction abelienne 

 de deux parametres u, v (de facon qu'a chaque point x,y, z corresponde 

 un seul systeme de vaieurs u, v non conguentes); ce cas a ete elucidc 

 completement par M. Picard; 



» 2 Ou bien l'integrale generate de (2) est rationnelle, ou simplement 

 periodique, on doublement periodique en /, et la surface S possede un 

 faisceau des courses T de genre zero, ou de genre un et de rneme module. C'est 

 ce dernier cas que je vais traiter ici. 



» J'etablis d'abord que I'equation du faisceau des courbes T peut tou- 

 jours se mettre sous la forme 



(3) C = R(*,j,s), 



R etant rationnel en x,y, z. Si Von forme, eneffet, d'apres (2), I'equation 

 entre x, -£, ~^ } soit a(x, x', x") — o, le faisceau de courbes y, de genre 

 zero ou un, definies par l'integrale quand on fait varier t, peut toujours 

 se mettre sous la forme c ~ ?(x,x f y x") f et, en remplacant x, x',x" en 

 fonction rationnelle de x,y, z, on obtient I'equation du faisceau T sous la 

 forme (3). 



» Si Ton clioisit convenablement l'axe des 2, a un systeme quelconque 

 de x, y, C verifiant une certaine condition algebrique I(x,y, C) = o, 

 correspond un seul point z de S; il est done loisible d'admeltre (moyen- 

 nant une transformation birationnelle) que le faisceau T a pour equation 



» Ceci pose, ecrivons sous forme irreductible I'equation de la courbe 

 S(x,y, z ) = o, et soit P(.r, y, z , Z ) = o i'equation ainsi obtenue, Z„ 

 sVxprimant rationnellement en x, y, z et etant lie a z par une relation 

 algebrique G(z ,Z Q ) = b. Le genre p de P est nul ou egal a 1; je vafs 

 montrer que, si la surface S admet effectivemcnl un groupe G, les coor- 

 donnees x, y y z s'expriment rationnellement en fonction de s et Z et de u 



