( 3 2 ) 



[ou en fonction dez , Z , u, U = \J(i — w a )(i -A 2 /)], eZ ce/a cfe telle /agon 

 que z , Z , h (ow s , Z , w, U) soienl rationnels en x, y, z. 



» Pour fixer les idees, supposons p — i . On peut toujours exprimer a?, j 

 en fonction rationnelle de u, U, les coefficients dependant algebrique- 

 ment de s ; et cela de facon que u, U soient rationnels en x, yetalge'briques 

 en z. On voit bien aisement que le theoreme precedent sera demon tre si 

 je demontre qu'on peut choisir u de facon qu'il s'exprime rationnellement 

 en x, y, z. Observons pour cela (et c'est ici le point essentiel du raisonne- 



ment) que l'integrale abelienne / ^- — (attachee a la courbe P = o) 



a deux periodes, independantes de z , et qu'on peut ecrire 



X(*,r,«.) s/U 



» Prenons x et z comme variables independantes ; on aura 



z , x X du dx . / \ 7 



A, fonction algebrique de x, z, admet comme derivee par rapport i 

 fonction 



£^/( w ); 



il suit de la qu'en augmentant u d'une fonction convenable de %, on peut 

 toujours supposer dans (4) A rationnel en x, y, z t d'ou le theoreme. La 

 meme demonstration s'applique sip est mil. 



9 Nous sommes maintenant en etat d'enumerer toutes les surfaces qui 

 rentrent dans la categorie etudiee : 



» i° La surface est uniformement unicursale ; 



» 2 La surface correspond birationnellement au cylindre G(£, tj) = o, 

 la courbe G etant de genre p>i; elle possede par suites integrates de dif- 

 ferentielle totale de premiere especey, qui sont fonctions Tune de l'autre ; 



» 3° La surface correspond birationnellement a la multiplicite I, •/), u, U 

 definie par les equations 



G(S, 7j) = 0, U = s (i-tt a )(i-**tt a ), 



G etant de genre p>i; la surface possede par suite (p-\- 1) integrates 

 dontp sont fonctions Tune de l'autre; 



