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 ces memes faisceaux, transporter parallelement a eux -memes autour de 

 Porigine O, satisferont a l'identite 



par suite, se confondront en un meme et unique faisceau : et les fais- 

 ceaux primitifs seront paralleles » ; 



» 3° Que « si Ton designe enfin par ¥ n un faisceau regulier donne; 

 par F^_- le faisceau d'ordre n — \ qui represente la premiere polaire 

 d'un point quelconque P par rapport au precedent : le second faisceau 

 sera regulier comme le premier; et les inclinaisons <p , 9,, sur la direc- 

 tion OP, de deux rayons quelconques du faisceau primitif F n et du fais- 

 » ceau derive F' n _ it satisferont a la congruence 



/zcp ^(« — i) ?< (mod*) ». 



» Prise, en effet, par rapport au faisceau P n , 



(0) = Y n ^(x^iyY^l{x-iy)\ 

 la premiere polaire F^_, du point P(a?',y), 



o = (a/+i/)(x 4- iy) n ~* 4- l(x' - iy) (x - i»— j 

 devient, en posant OP = Oa? ouj' = o, 



(1) o = F;_ ( = (x + iy)"" + l(x - iy)"" . 



De la, en designant par (p et <p 4 les inclinaisons, sur Ox ou sur OP, de 

 deux rayons quelconques des faisceaux (o), (1), 

 , ,v j o = (cos ?0 +f'sin ?0 )"-f-/(cos9 -^s[n 9o )" 



V ; i = (Hr/) cos/19.4- 1(1 -/)sin/» i? .; 



, ,v ( o = (cos? 4 4- isin^)"- 1 -4- /(cos 9, — isiiKp,)" -1 



I = (l + l)cos(n-i) 9l 4-i(i ^/)sin(« - ,) ?1 ; 

 et, par suite, 



tang/i<p = lang(/i -1)90 no ==(/*- 1) <p, 4- k~; 



c'est la relation enoncee, et qui va nous permettre de transporter, aux 

 equilateres d'ordre quelconque, une autre propriete des equilateres du 

 second ordre. 



» 2. Theoreme II. — Le lieu du centre des equilateres du faisceau 



(0 o = h b ^-xh;^h; 



est un cerclepour n quelconque, comme pourn — 2. 



» Soient, en effet, F„ A , $„ u , W n c les faisceaux reguliers de centres res- 

 pectifs A, B, C, formes par les asymptotes des composantes H„, B'„ et de 



