Mors il faut et il suffit que les substitutions 



(A) < r„ = ^(^,,1, ; »V S , iy t ; iV a ), r/ 2 = ^(^.j,,-, ! "*V «y,. »0« 

 ( ^ = A, (a?„j 2 , s 3 ; ix 3 , iy 2 , tY a ), £ = ft, («„^„ 2, ; iV a , iy' t > iz\) 

 transforment l'equation 



dx\ -+- dy\ -+- dz]-+- dx'* -+- dy* -f- dz* = o 

 dans l'equation 



</; 3 ■+■ *&) J -4- <f£ a -I- rf&' 2 a -4- <&)' 2 a -+- ^C a 2 = o, 

 c'est-a-dire qu'elles definissent une representation con/orme de la variete 

 (x^y { , z, ;«r' a »y 2 , z 2 ) sur la variete (5 yj, , £, ; c' 2 , v/ 2 t£' 2 )« Mais le groupc 

 des transformations conformes d'une variete qui a plus de deux dimen- 

 sions est le meme que le groupe des rayons reciproques (voir Theorie der 

 Transformations gruppen, unter Miswirkung von Friedrich Engel bearbeitet 

 von SophusLie, Abschnitt III, p. 35 1). Done toutes les substitutions (A) for- 

 ment un groupe continu de transformations avec vingt-huit parametres qui est 

 semblable au groupe des rayons reciproques d'une variete de six dimensions. 



» M. Adam n'a trouve qu'un cas special de cette solution generale, car 

 ses equations lineaires en x t , y,, z { ; x 2 , y 2J s a ne contiennent que six 

 parametres. 



» Je ne transcrirai pas les vingt-huit transformations infinitesimales du 

 groupe (A), qu'on formera aisement en se servant des equations (IV) 

 de M. Sophus Lie (loc. cit. t p. 347). Je me contente de dire qu'elles sont 

 reelles, ce qui prouve qu'a un couple reel S, et S a correspondent oo 28 cou- 

 ples reels 2, etl 2 . 



» Cependant il est necessaire d'ajouter cette restriction. Il fautconsi- 

 derer comme identiques des couples 2 { et 2 2 , qu'on peut faire coincider 

 par un mouvement de 2 ( 011 de 2 2 , ou par la meme transformation de 

 similitude (Achulichkeits Transformation) de 2, et I 2 , et, par consequent, 

 les substitutions (A) ne donnent que oo 15 couples diflferents de surfaces. 

 Parmi ces couples il y a oc 9 qui sont derives du couple S, et S 3 par des 

 substitutions lineaires. En combinant ces substitutions lineaires avec la 

 substitution quadratique 



1 ( = Vn r t3 = ~ \y 2 , 5 = x \ -4- J 3 -f- z\ - x\ — y\ - z\ , 



on obtient tous les couples 2, et^ a . » 



