elle rappellera tou jours aux geometres le nom modestement cache de 

 M. Bierens de Hahn. » 



M. Feud, von Mueller, recemraent nomrae Correspondant, adresse, de 

 Melbourne, ses remerciments a l'Academie. 



GEOMETRIE. — Sur les equilateres comprises dans les equations 



o = 2; n 'I, T';~ H„, o = X;"- 1 /, TJ== H s + xh; . 



Note de M. Paul Serret. 



« 5. Pour que l'equation generale de degre n, o = u n -h «„_, + . . ., re- 

 presente une equilatere, il faut, en premier lieu, que le faisceau u n = o soit 

 regulier. Cette condition remplie, il est remarquable que le fait multiple 

 de position implique ensuite par la collineation des asymptotes se resolve 

 en des donnees de pure direction, comme on le voit par l'enonce suivant : 



» Theorems V. Les un— 3 conditions necessaires et suffisantes pour 



que V equation 



(i) o=f(x,y)u tt + u a J t + ... 



represente une equilatere sont du premier degre par rapport aux coefficients; 

 et on les obtient en exprimant que le faisceau u n _ K = o est regulier ; comme le 

 faisceau u n . Rapportee, en elfet, a des axes issus de son centre et repre- 

 sentee alors par une equation de la forme 

 (0 o = F(XJ)=U B + U fl . J - .... 



oil U„ designe un faisceau regulier, une equilatere de degre n, rapportee 

 ensuite a des axes quelconques, aura pour equation 



S o==F(* + * r +/> 

 ; / =V n (x+ y) -+-(^13^.4-/13;^)-+-... = ^ + «„_, + .... 

 Or, le faisceau U„ etant regulier, par hypothese, il en est de mcme du 

 faisceau derive a^U^+yU 1 : et le faisceau u n _ s est regulier, comme le 

 faisceau u n . 



» Reciproquement, si les deux faisceaux u n , u n _ K sont l'un et l'autre re- 

 guliers, la courbe (i) est certainement equilatere. Gar si on la rapporte a 

 de nouveaux axes, issus d'une origine indeterminee (x',y'), elle sera re- 

 presentee par la nouvelle equation 



(i to) » °-K* +*'?+?) 



