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» Si la courbe (i) esl equilatere, le faisceau u n est regulier; il en est lie 

 meme du faisceau derive o = au n -+- bu n r E^U rt _, {x,y) : la premiere 

 polaire est equilatere comme la proposee (1), et Ton a cette proposition : 



» Theoreme VI. — Pour une equilatere d'ordre quelconque n, la premiere 

 polaire d'un point situe a I'infini, dans une direction quelconque, est une autre 

 equilatere de meme centre que la proposee. 



» 7. Les propositions precedentes permettent d'introduire dans la 

 theorie des courbes de degre superieur, comme dans celle des polygones 

 d'ordre ou de classe quelconque, des points, des droites, des cercles 

 remarquables dont l'utilite se peut presumer d'avance par analogic On 

 sait, par exemple, que, dans la seule geometrie des coniques, la rencontre 

 d'un cercle ou d'une droite propres a jouer un certain role dans la theorie 

 de ces courbes, a toujours ete relevee avec soin par les geometres. Pour 

 les courbes de degre superieur, le meme fait devient plus rare, sinon 

 meme jusqu'ici purement accidentel. Mais les proprietes des faisceaux 

 reguliers et leurs combinaisons entre eux, les combinaisons et les pro- 

 prietes des equilateres de degre n, permettent de reconnaitre, pour les 

 courbes et les polygones d'ordre ou de classe quelconque, plusieurs direc- 

 tions distinctes sur lesquelles nous sommes assures d'avance de telles 

 rencontres : sinon de toutes les deductions utiles que M. Lame y croyait 

 attachees('). 



» Pour essayer cependant d'en donner un exemple, prenons comme 

 point de depart le theoreme V, ci-dessus. Et puisqu'une equation de 

 degre n ne peut representer une equilatere qua la condition de contenir 

 tout au moins 2/2 — 3 parametres libres, formons l'equation la plus simple 

 de ce degre remplissant cette condition, savoir 

 (A) o = 2;"- 2 / ( T?== H W ^^ A , + C B _ 2 ; 



nous en conclurons aussitot que, a tout poly gone pair P 2 „_ 2 d'ordre in — i 

 et de cotes o = T, = T 2 = . . . = T 2 „_ 2 , est attache un point determine A', 

 centre d'une equilatere determined d'ordre n, conjuguee a ce poly gone et definie 

 oar l'equation (A). 



» Or les iheoremes anterieurs ne permettent pas seulement d'obtenir 

 le centre de l'equilatere (A); mais, ce centre determine, ils nous donne- 

 raient aussi, avec 1'orientation du faisceau des asymptotes, la courbe cora- 

 plementaire C rt _ 2 que Ton pourra construire par points, soit pour n ■ — 3, 

 ou pour n = 4. 



(') Examen des difft rentes methodes, p. a3; 1818. 



