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» Mais pour nous borner ici a la seule determination du point A' attache, 

 comme on vient de le dire, au polygone P 2 „_ 2 , introduisons une nouvelle 

 droite T 2ra _, = o et considerons cette fois, avec un parametre de plus, Ja 

 serie des equilateres conjuguees au polygone impair resultant P 2B _,, ou 

 contenues dans l'equation 



(b) o = i 2 t il - i i i r;=E n -hiu /i . 



» Ces nouvelles courbes constituant un faisceau, et le lieu de leur centre 

 etant des lors un cercle, nous en conclurons que, a tout polygone impair 

 P 2ra _, d'ordre in — i, est attache' un cercle determine (B'), lieu du centre des 

 equilateres conjuguees a ce polygone ou comprises dans I equation (B). 



» Actuellement, introduisons une derniere droite T 271 =o et soit C le 

 point attache au nolygone resultant P 2ra , ou le centre de Vequilalcre 

 d'ordre n -+- i 



(C) o = 2*"l i T l i +i = U n ^, 



conjugueea ce nouveau poly gone ; nous aurons le theoreme suivant : 



» Theoreme VII. — Les trois polygones P 2 „_ 2 , P 2 „_,, P 2 * etant definis 

 comme ci-dessus, le cercle (B'), attache au polygone moyen P 2/r _,, passe par 

 chacun des points A', C attaches aux polygones extremes P 3 „_ 2 , P 2ra . 



» Pour le point A', la proposition est evidente : l'equilatere (A), de 

 centre A', coincidant, en effet, avec celle des equilateres (B) qui resulte 

 de la substitution / 2n _, = o introduite dans l'equation (B), son centre A' 

 coincide de meme avec un point du cercle (B '), lieu du centre de ces equi- 

 lateres. 



» Pour le point C\ faisons intervenir la premiere polaire, prise par rap- 

 port a l'equilatere (G), du point a 1'infini de la droite T 27l = o. D'apres le 

 theoreme VI, cette premiere polaire sera une equilatere d'ordre n, H^, de 

 meme centre C que (C). Mais il suit, d'autre part, de Tequation (C) elle- 

 meme et de la situation du pole sur la droite T 2n — o f que cette premiere 

 polaire aura pour equation 



(c,) o = ir { n -' i.tj'i = s;' , - , /;t';=h;;, 



equation de meme forme que l'equation (B), et qui montre que l'equila- 

 tere H" n quelle represente se confond avec Tune des equilateres (B). La 

 premiere polaire consideree, de centre C\ reproduit done Tune des equi- 

 lateres (B); et son centre C reproduit de meme un point du cercle (B'), 

 Heu du centre de ces equilateres. 



» De la cette conclusion : on saura determiner, par in cercles se croi- 

 sant au point que Ton cherche, le point C attache a un polygone donne 



