(5,8) 



represente p, une bande quelconque B limitee par deux paralleles decou- 

 pant sur Taxe reel une longueur egale a un. Dans cette bande, la fonction 

 D(p, u. ) admet une infinite de couples de racines que nous designerons 

 par 



(4) w (* = -«... +*>). 



» Considerons, d'autre part, la fonction du second degre 



0(o, jt) = a? (? - i) +■ 2 boy. H- cjx-Cj* - i)^? + ^ + A 00 

 et designons par 



(4') ^.7, (*=-«... + : *) 



les racines des equations 



situees dans la bande B. On aura ce theoreme : 



^Km (p A - ^) = o, lim (<7 A - * A ) = o, 



ce qui donne les valeurs asymptotiques des p A , <r A pour les grandes valeurs 

 deL 



» II. Supposons d'abord que toutes les racines (4) soient distinctes pour 

 jx = o. Chacune des fonctions en nombre infini 



representee une integrale de l'equation (i) et Ton pourra demontrer le 

 theoreme suivant : 



» Toute integrale de V equation (i), holomorphe dans le voisinage d'un 

 point donne (x ,y de C), peut sexprimer par une se'rie uniformemenl con- 

 vergente {dans le voisinage de x , y ) de la forme 



les c ik et c ik designant des constantes. 



» D'apresun theoreme de M. Picard, toute integrale de l'equation (i) 

 est analytique. Le theoreme enonce revient done a dire que les inte- 

 grates (5)forment un systeme fondamental d' integrates de Tequation (r), 



