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ou, en d'aulres termes, que toule integrate de (i) pcut s'exprimerlineaire- 

 ment et avec des coefficients constants au moyen des integrales (5). 



» Voici done une analogie frappante entre la theorie de 1'equation (r) 

 et celle des equations lineaires a une seule variable independante. 



» III. Nous supposions plus haut que les racines (4) etaient distinctes; 

 dans le cas contraire, on aura a introduire des logarithmes dans l'expres- 

 sion des integrales, et l'analogie signalee subsistera parfaitement. 



» Dans le cas ou la fonction y(x, y) est holomorphe dans le voisinage de 

 x = o, y = o, on aura 



et chacune des integrales (5) ne contiendra qu'un nombre limite de puis- 

 sances negatives de x et de y. Ce cas correspond done au cas regulier dans 

 la theorie de M. Fuchs. 



» Je remarque enfin que les resultats precedents, auxquels je suis 

 arrive a Taide d'une theorie generale des determinants infinis, peuvent 

 s'etendre a des equations analogues a (i) et d'ordre pair quelconque. » 



geometrie infinitesimale. — Sur les surfaces dont les lignes de coiirbure 

 forment un reseau a invariants tangenliels egaux. Note de M. A. Thybaut, 

 presentee par M. Darboux. 



« La determination des surfaces dont les lignes de courbure forment 

 un reseau a invariants tangentiels egaux (nous les appellerons surfaces S) 

 depend, comme la determination des surfaces isothermiques, de la resolu- 

 tion d'une equation aux derivees partielles du quatrieme ordre. 



» Mais les surfaces qu'on peut deduiredes surfaces S par l'inversion ne 

 possedent pas en general la meme propriete. 



» On peut determiner toutes les surfaces S dont les surfaces inverses 

 sont aussi des surfaces S. Le probleme depend dans ce cas d'une equation 

 aux derivees partielles du second ordre et peut etre entierement resolu. 



» Soient S et S, deux surfaces S inverses par rapport a l'origine O des 

 coordonnees, soit a la puissance d'inversion. 



» Prenons sur les surfaces deux points correspondants M, M, et consi- 

 deronsles surfaces 1, l t respectivement polaires reciproquesde S et S, par 

 rapport a une sphere de centre O et de rayon l/^. Le point A qui corres- 

 pond a M, se trouve sur la normale en M a la surface S et OA == AM. De 



