( fc" ) 



» En developpant ces egalites et en ecrivant que la puissance d'inversion 

 esl a, on trouve les conditions 



^ 3 ) a' a; 1 =~Wb[~ == ~~V 



qui sont necessaires et suffisantes. 



» Les coordonnees du point A, sont en general -> -> -; celles du 

 point A sont donnees par la formule 



w ---/('•S-a*+(«.S-ft)* 



et par deux formules analogues. 



» La surface S est Tenveloppe du plan dont l'equation est 



» La surface S, est l'enveloppe du plan dont l'equation est 



» La fonction to est donnee par l'une des formules (4); d'ou Ton tire 



/ d(e, + «») / V(e,-».) 



«^ d{a + b)+ J^^ d{ a-b), 



et l'indice i peut etre remplace par l'un des indices 2 ou 3. 



> Les quantites 9 et a sont definies par les formules (1), (2), (3). 



» On peut demontrer les proprietes geometriques suivantes : 



» Chacune des surfaces S, S, a meme representation spherique de ses lignes 

 de courbure quune surface minima {les deux surfaces minima ainsi definies 

 sont les adjointes deT etT t ). 



» Les asymptotiques de l'une des deux surfaces S, S, correspondent sur 

 I autre a un reseau conjugue a invariants ponctuels egaux. Reciproquement, 

 si deux surfaces inverses sont telles qu'aux asymptotiques de l'une corresponde 

 un reseau conjugue de I autre, les deux reseaux conjugues sont a invariants 

 ponctuels egaux, et les surfaces sont des surfaces S. 



» De l'egalite OA == AM donnee precedemment on deduit le resultat 

 suivant : 



» Si une surface est telle que la demi-somme de ses rayons de courbure en 

 tm point M soit e'gale a la distance dun point fixe O au point A correspon- 



