8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Étude de l'intégrale générale de l'équation (VT) 
de M. Painlevé dans le voIsinage de ses singularités transcendantes, Note 
de M. Rexé Garnier, présentée par M. Hodaka. 
1.. Dans ma Note précédente (!) j'ai indiqué comment la méthode des 
approximations successives, appliquée à l'équation (VE de M, Painlevé, 
fournit des expressions analytiques À (4), satisfaisant à (VI), et valables 
dans des secteurs indéfinis du plan T = logé,'e (où |," 1). Or ce résultat 
est en défaut dans deux cas importants : lorsque les conditions initiales 
sont telles que le trinome P(À) a une racine double k, ou est identiquement 
nul. Mais, dans ces deux cas, on peut encore Sbtenir pour (VI}des carac- 
téristiques que j'appellerai de la première espèce, du type exceptionnel et de 
la première (ou de la deuxieme) sorte. Bornons-nous à définir celle de la 
première sorte qui correspondent au premier des deux cas précédents. 
2. Ce cas ne peut être réalisé que si la quantité s de ma Note précédente 
est égale à l'une des expressions o = + V4(a+b+c+d+1)#+ V40 +7. 
Posons alors À = À + v; y vérifiera une équation de la forme 
(1) Èy + tv — oy = av? + ide + aat? y? + Batu + t}: 
où les coefficients du second membre sont holomorphes poùr iż] ét D | 
suffisamment petits. Cela étant, une suite d’approximations analogues à 
celles qu’on définira bientôt montre que, pour © différent d’un entier réel, 
(1) admet une intégrale holomorphe © (t), nulle avee + [5° pouvant. prendre 
deux valeurs, il existera donc, pour (VI), deux intégrales holomorphes 
pour ¢ = 0]. Faisons alors v =@(t)+ p; 6 vérifiera une équation (x), 
analogue à (1), mais dont le second membre, ®(ọ', p, £), est dépourvu de 
terme en ży. Posons enfin p,— At (A est une constante arbitraire, et la 
détermination de c n’est pas négative pour g? réel) et À 
(2) pau me “Le ES Olon: pua t) dt — ES LOS Se sais + RON 
sir Os Fe R 
On démontre aisément que, t tendant vers zéro suivant un chemin € 
convenablement choisi, les approximations (2) convergent régulièrement 
£ 
ToN 
(*) Comptes rendus, t. 162,51916, p.{9309. a i tM g9 
