SÉANCE DU 2/4 JUILLET 1916. 81 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Relations d'inégalité entre les moyennes arith- 
métiques el géométriques. Note de M. Micuez Perroviren, présentée par 
M. Émile Picard. 
Soit f(x) une fonction développable, au voisinage de x = o, en série de 
puissances 
(1) Ag + AT + Gal +..., 
chaque coefficient a; étant réel et positif ou nul, les deux premiers coeffi- 
cients a, et a, pouvant, d’ailleurs, avoir des valeurs réelles quelconques. 
Somi Ti, Laz »-»3 Lp des quantités réelles et positives, dont la somme 
est plus petite que le rayon de convergence de la série (1). 
Désignons par 
(2) p = AT Res e M St: EST) 
1 
la moyenne arithmétique u des quantités x; et la moyenne arithmétique M 
des valeurs correspondantes de la fonction f(x). 
Dans un Mémoire qui paraîtra prochainement (‘) je démontre la formule 
(3) M= 9, (p)+ 0D, (p) 
avec 
=F +(n—i o) 
D= Seh n Olp CEEA) ju, 
où 0 est un facteur dont la valeur est toujours comprise entre o et 1. 
On a également 
(4) ex M =E) GI 
où £ est un facteur compris entre . et 1. Ces limites sont effectivement 
atteintes pour une fonction f(x) arbitraire : la limite o de 0 et 1 de 
lorsque tous les x; deviennent égaux entre eux; la limite 1 de ÿ et — = de 
Jy% yY 
lorsque tous les x;, sauf un parmi eux, tendent vers zéro. 
(') Théorème sur la moyenne arithmétique de quantités positives (Enseignement 
mathématique, n°% 3-4, mai-juillet 1916, p. 163-176 
