moo — ACADÉMIE DES SCIENCES. 
3. Choisissons pour s la racine de s? dont la partie imaginaire a un coeffi- 
cient positif; dans le plan (s), marquons les points s, s+ 1,s +2, ..., que 
nous désignerons par Sey Ssi, S+2» +; Et soil Òn la valeur, comprise 
entre o et z, de arg. s,. Dans le plan (T) traçons les rayons OA, d’argu- 
3 . ++ 
ments — — &,, et appelons S, le secteur de frontières OA,_, et OA,.,. 
Les secteurs S,_, et S, empiètent l’un sur l’autre, tandis que S,_, et S,., 
ont une frontière commune O A,, qui sera dite la médiane de S,. Ceci posé, 
si notre intégrale est donnée par un faisceau de première espèce, conver- 
geant dans S,, par exemple, on pourra (pour |ż,| assez petit) construire 
dans tous les secteurs S,,_, (ou S,„) des faisceaux de deuxième (ou pre- 
mière) espèce, appartenant à la même intégrale et se recouvrant de proche 
en proche; et il suffira d’un nombre fini N de secteurs (mais croissant 
indéfiniment avec n-') pour représenter l'intégrale dans toute la région &. 
Indiquons maintenant une propriété bien remarquable de cette inté- 
grale : Sur tout rayon intérieur à S,,, « tend (pour |T|=—+x) vers une 
valeur 4, >n telle que l’une des déterminations correspondantes de s soit préci- 
sément $s, + 2n. Ainsi, sur deux rayons situés de part et d’autre de la 
médiane de S,,,,, & tend vers deux valeurs distinctes; au contraire, sur la 
médiane, à est indéterminé ('). Un énoncé analogue s’appliquerait à & en 
échangeant lesparités des indices. Quant à À tous les résultats énoncés à la 
fin de notre première Note peuvent être appliqués à l’intérieur de chacun 
des secteurs S,,; et l’on étudierait aisément leurs frontières au moyen de 
caractéristiques de deuxième espèce. Enfin, pour |T| assez grand, les 
conclusions précédentes s’appliquent sur un rayon d’origine quelconque 
du secteur a. ; 
4. La représentation géométrique de s conduit à des résultats intéres- 
sants concernant l’étude de À (1) quand on fait varier les constantes d’inte- 
gration; elle montre aussitôt les modifications qu'il faut apporter aux 
énoncés précédents quand s tend vers une valeur réelle ou de la forme 
o+ entier. Je dois me borner à cette indication; j'ajouterai pourtant que 
la théorie des approximations successives met à l’abri de toute objection 
toutes les conclusions relatives à la variation continue de À (ż) par rapport 
aux conditions initiales. 
i 
(1) J'indiquerai bientôt Se de cette remarque pour la solution du pro- 
blème de Riemann. 
