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a, étant le coefficient de eosnæ dans la série de Fourier de la fonction f(x). 
Or, comme f(x) est bornée dans le voisinage de l’origine et s’approche 
de f(+ o0) comme limite, la série dé’ Fourier est convergente pour x = o 
ar les moyens de Cesàro (C1), c’est-à-dire que sue Padal a une 
à d ; q 
limite unique et finie quand z croit indéfiniment. D’ apit TY donc notre 
série de Fourier convergera pour w = 0, si C(na,) a la limite zéro quand 
n croitindéfiniment. Nous allons voir que ceci est exact. 
3. Nous avons, en effet, le théorème suivant : Si Ea, cosnx est la série 
de Fourier d’une fonction paire f(x), 
him C(na;)=—o, 
n — © 
quand les conditions suivantes sont remplies : 1° f(+ o) existe et est finie; 
2° Dans un certain voisinage de l’origine (—e£x£e), f(x) peut être mise 
æ ; x y 
sous la forme = J g(æ)dx, où = T |g(x)|dx est une fonction bornée. 
Or 
Ercan = 0} f necosnx f(x) de 
1 d 
H if pres [ose £ — COséC =æ cos ( à — z) z| ré, 
donc - 
(2) Sr lim Oad.) = Me fr) CE pa La 
so È 
Damani a dont (0, T) en trois parties : (0, p), (p,e) et (e, T), 
où p =, P est un entier quelconque et n suffisamment grand. Mais 
notre résultat ne dépend nullement du caractère de f(x) en dehors du 
voisinage de l’origine. Nous pouvons donc mettre f(x) — o dans l'inter- 
valle (e, 7), et la partie correspondante de notre intégrale sera nulle. 
Dans l'intervalle (0, p), mettons x = =; a ($) est alors bornée et a pour 
limite ar o); nous pouvons donc multiplier par la fonction hernie i 
d /1— cost 
* de t 
et intégrer terme à terme. Nous aurons alors 
lim = f hez e [=a 
2P 
Lin EE aa f regea 
