194 ACADÉMIE DES SCIENCES. 
On établit alors les deux propositions suivantes : 
1° Si ọ est réduite pour une infinité de points (À; œ, Y, T) ayant un point 
d’accumulation réel sur la quadrique (2), ce point a pour coordonnées 
ÀA=u—y—0o, x —1: cela vient de ce que, pour ce point, ọ jest.parré 
parfait. La forme proposée et son adjointe peuvent donc représenter 
Zéro. 
2° Si les points où 9 est réduite ont un point d’accumulation i imaginaire 
annulant le} ier membre de (3), la quadrique (2)contient la génératrice 
rationnelle À = u = 0, et le point d’accumulation est sur cette génératrice. 
Ainsi, la quadrique f = o a dans ce cas des génératrices rationnelles. 
On démontre que, si une quadrique a des génératrices rationnelles, tes 
deux génératrices qui passent par un point rationnel quelconque de la 
quadrique sont rationnelles. 
Le cas où la quadrique n’a pas de points rationnels a été complètement 
traité par M. Picard. Dans les autres cas, la difficulté est de voir que le 
nombre des formes équivalentes à f qu’on rencontre dans la réduction 
continuelle est fini. En cherchant à se rapprocher de la marche de M. Picard, 
on trouve qu'il suffit de prouver qu’à chacune des formes équivalentes 
qu’on rencontre correspond une forme ọ où le coefficient de x? est supé- 
rieur à une limite fixe: or c’est ce qui arrive; la limite peut être prise 
égale à < s’il n’y a pas de génératrices rationnelles, à ie s’il y en a. En 
effet, si ce.coefficient tombe au-dessous de cette limite, il est égal à 22°, 
en supposant, comme il est permis, À réel et positif. Or, s’il n’y a pas de 
génératrices rationnelles, la forme continue d’être réduite si l’on fait croître 
2 À? jusqu’à la limite indiquée, les parties réelles de - et de = restant fixes 
ainsi que les parties imaginaires de u et de v; la valeur de + résulte de celles 
de ces lettres par la relation (2) et la relation (3), où le premier membre 
est pris égal à — 4A. S'il y a des génératrices rationnelles, on arrive au 
même résultat par des variations impias de à et de la partie imaginaire 
de u, les parties réelles de Ë zet de — — restant fixes. 
La conclusion à laquelle 5 parvia ainsi est que, s’il y a sur la quadrique 
hyperabéliens (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1898, et Thèses de 
da Faculté des Sciences de Paris, 1898). — Corrx, Les fonctions abéliennes et la 
Théorie des nombres (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1912, et 
Thèses de la Faculté des Sciences de Paris, 1913). 
