SÉANCE DU 21 AOUT 1916. 1gù 
des points rationnels, mais pas de génératriées rationnelles, le polyèdre 
fondamental du groupe hyperabélien atteint la frontière du domaine fon- 
damental, composé de deux demi-plans limitésaux axes réels, en des points 
réels en nombre fini. S'il y a des génératrices rationnelles, il atteint cette 
frontière en un nombre fini de portions de variétés à deux dimensions, 
comprenant un nombre fini de points réels. 
Pour prouver alors que la relation qui existe entre trois veiti hijen: 
abėliennes est algébrique, ilsuffit d'étudier les singularités de ces fonctions 
aux points rationnels et aux points des génératrices rationnelles. Pour cette 
étude, on peut mettre f sous la forme 
FT Les Las di) = x (a8; + br, + Ct, + dx, ) + P(T, £3), 
et porter l'attention sur le point rationnel x, = sy = æ; = 0, £, = t, et sur 
les génératrices qui passent par ce point, si elles sont rationnelles. On trouve 
que, si 4 satisfait à certaines conditions qu’on peut remplir par un change- 
ment de variables, les fonctions thêta-hyperabéliemnes sont, en ces points, 
le produit d’une fonction rationnelle, qui Es gerer — les fonetions hyper- 
amiri 
+ His F. 
abéliennes, par une fonction holomorphe de e La et de e ™ z n 
sont, si / — o, liées aux variations £ ety) de l’espace hyperabélien par des 
relations linéaires ). Cela suffit pour démontrer notre proposition. 
Des raisonnements A TILNEE peuvent s'appliquer aux formes quadra- 
tiques quinaires u? -+ u? -+ u?— u} — uż, auxquelles gorrespondent des 
fonctions de trois variables faisant partie d’une eaore que j'ai étudiée 
dans ma ARESA, 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un théorème géométrique utile pour l'étude de 
l'inversion directe des intégrales abéliennes. Note (‘) de M. A. Lisesrrow, 
présentée par M. Appell. 
On peut dire sans exagération que jusqu ’à nos jours le problème de 
l'inversion directe des intégrales abéliennes est resté obscur. Malgré les 
travaux de M. Casorati (fondés sur les conceptions de Riemann) qui eurent 
pour but de diriger l’attention des géomètres vers ce problème et yers les 
fonctions multiplement périodiques qui en. dérivent, personne ne s'en est 
(') Séance du 14 août 1916. 
