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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une méthode nouvelle pour résoudre 
le problème de Riemann. Note (') de M. René Garnier, transmise 
par M. Hadamard. 
1. Soit E une équation différentielle linéaire, d'ordre m, dont les coeffi- 
cients sont rationnels par rapport à la variable indépendante x, et dont les 
singularités (effectives) sont régulières et au nombre de n. Proposons-nous 
de choisir E de telle sorte que son groupe de monodromie soit un groupe 
donné G; c’est le problème qu’on appelle problème de Riemann, en mémoirg 
du géomètre qui, le premier, en a traité un cas particulier (m = 2, n = 3). 
Qu'il me suffise de rappeler que ce problème n’a été résolu dans toute sa 
généralité que par M. Plemelj; son Mémoire utilise la théorie des équa- 
tions intégrales; il avait été précédé d’un travail de M. Hilbert, relatif au 
cas de m = 2. 
Dans cette Note, je vais montrer comment les considérations dévelop- 
pées dans mes trois Notes précédentes (°) fournissent une méthode nouvelle 
pour résoudre le problème. Je supposerai m — 2, n= 4; quant à l'extension 
au cas m = 2, n quelconque, elle exige, au préalable, qu’on étende aux 
équations de ma Thèse les méthodes développées dans ces trois Notes pour 
l'équation (VI). 
2. Pour m=—2, n—4, G dépend de six paramètres distinets; les 
coefficients de E ne peuvent en contenir le même nombre que si E renferme 
un point singulier apparent, À; on peut alors lui donner la forme sui- 
vante (*) 
p der at æn ie (eo er) ét 0) 
(E) 
~ 
4 a a 
g(x —1)(x —t) æ(æ—1)(æ—à) 
où a, b, c, d sont quatre paramètres, immédiatement connus dès qu’on 
donne G. Faisons varier z; on sait que le groupe de E ne pourra rester 
constant que si À vérifie par rapport à { l'équation (VI), de plus « prendra la 
(') Séance du 14 août 1916. 
(°) Comptes rendus, t. 162, 1916, p. 939; t. 163, 1916, p. 8 et 118. 
. (°) J'ai introduit cette forme dans ma Thèse (Paris, Gauthier-Villars, 1911, p. 91). 
