SÉANCE DU 21: AOÛT 1916. 199 
valeur &(A', À, 4) (17° Note, n° 3) et l'on aura 6 = à — a (2° Note, n° 3). 
Pour résoudre le problème de Riemann, il faut donc construire (si possible) 
une intégrale À(4) de (VI) telle que le groupe de E coïncide avee G pour 
une valeur particulière de t (problème B). | 
Or, faisons tendre vers zéro suivant un chemin €; nous savons choisir € 
de telle sorte, par exemple, que |A(4)| ne devienne pas infiniment petit et 
que tende vers une valeur finie 4, ; je dis qu'on peut calculer a, au moyen 
de G. En effet, à une distance finie de zéro et z, décrivons un contour # 
enveloppant ces deux points; si ¿ tend vers zéro, les intégrales de E sont, 
sur £, continues par rapport àz. La substitution correspondant à £ de 
Le 
l'équation €, vers laquelle tend E est done aussi S; on a, par suite, 
hay =s —4a—4c+x, 
so : 2 étant l’invariant de la substitution umimodulaire 5. Dès lors, de pro- 
blème B se ramène aussitôt au suivant [où n'intervient plus que l'équa- 
ton (VI)] : 
2, et x, étant deux quantités finies données, déterminer une intégrale A(t) 
de (VI) telle que a(t) tende vers à, ou 4, lorsque t tend vers o ou 1’ suivant 
deux chemins €, ou €, bien déterminés. : 
Je vais indiquer maintenant, dans ses grandes lignes, la solution du nou- 
veau problème (problème C). 
3. Soit 1, un point quelconque (0, 1, æ), relié à O par un chemin L, 
qui dans le voisinage de O coïncide avec €,. Je dis qu'on peut trouver une 
intégrale de (VT) telle que, sur L, a(t) tende vers x, ou a, suivant que t tend 
vers o ou £, (problème D). En effet, l'étude des caractéristiques de (VI) 
montre (') que le problème D est possible lorsque 4, est assez près de © 
(sauf, peut-être, pour une valeur particulière de #,, mais cette restriction 
n’a pas d'importance pour la suite). On a donc le droit de définir un arc O7 
comme étant le plus grand arc de L, issu de O, pour tous les points duquel D 
est possible; s’il ne l’est plus pour l'arc complémentaire 74,, on voit aisé- 
ment que 74, est fermé, ensorte que tout revient. à établir que D est possible 
en T. Or toutes les intégrales de (WI), tellés que 4 prend sur €, la valeur a, 
en {= o, sont définies par les valeurs À, qu'elles prennent en un point 4, 
de 2,, suffisamment près de O; et, d’après un théorème de M. Painlevé, 
(') Cf. Comptes rendus, t. 163, 1916, p. 320. 
