318 ACADÉMIE DES SCIENCES. 
étendue à toutes les aires à. On transforme de suite cette intégrale en la 
suivante 
I 
JAn ep 
la sommation ¥ étant étendue à toutes les substitutions du groupe, et l’inté- 
grale double étant relative à l'aire ò. Mais, d’après ce que nous avons vu 
antérieurement, on peut poser 
I a aA 
|M; + Pp + R;|  |R;| 
’ 
À étant une quantité positive, dépendant de u et ¢, mais restant, quand le 
point réel (u, v) est à l’intérieur d’une aire entièrement comprise dans le 
cercle I, entre deux limites fixes, positives et différentes de zéro. Il est 
donc évident, d’après la convergence de (2), que la série (1) est conver- 
gente. 
2. Ce point établi, nous allons considérer les séries qui, dans la théorie 
des groupes hyperfuchsiens généraux, nous ont conduit aux fonctions 
hyperfuchsiennes 
(S) SR(U, 
V) : 
- (Myu + P,o + Rp 
U et V correspondant à la substitution générale, et la sommation étant 
étendue à toutes les substitutions du groupe; l'entier positif m peut ici être 
égal à l’unité. R représente une fonction rationnelle. Envisageons les 
points (u, v) pour lesquels M1 
(3) US + VE — (UV: — Ugy) Z0. 
Je dis que pour ces points la série S est convergente (en laissant au besoin 
de côté un nombre fini de termes), si l’on prend pour R(u, #) une fonction 
rationnelle de u et v, restant finie pour les points de la courbe (C) corres- 
pondant aux équations | 
(C) , Uz— 0, v: = 0; uito = 
D’après ce que nous avons vu à la fin du paragraphe 3 de notre précédente 
Note, on peut, pour (u, v) donné, trouver un nombre positif K non nul, tel 
que (sauf peut-être pour un nombre limité de substitutions) on ait 
|M;u + Pp + R| >K |R|- 
De plus, sauf peut-être aussi pour un nombre limité de substitutions, le 
