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THÉORIE DES NOMBRES. — Sur quelques fonctions numériques remarquables. 
Note de M. G. Humserr. 
1. Définitions. — Dans deux Notes publiées aux Comptes rendus, t. 158, 
1914, p. 220 et 293), j'ai étudié certaines fonctions entières, dont les pro- 
priétés intéressent l’Arithmétique : elles sont au nombre de douze, si l’on 
joint à celles que j'ai introduites leurs transformées par les changements 
de gen — q ou de x en x + - r. Pour compléter ce qu’on pourrait appeler 
le premier degré, il me reste à définir quatre nouvelles fonctions. 
Nous poserons 
ane" i 
Lgm (— 1)" sin2mx, 
s(a) Dor IF = (— 1)” sina mz, 
fonctions évidemment entières. 
c, els, seront respectivement o (2+ z) ets (x + =). Entre sets, on a 
le lien établi par l'équation 
(1) s(z)=o (x4 =) +i[i—@(x)] (IST 
avec les notations de mes Notes antérieures; di plüss 6, ets, sé st 
aux fonctions définies dans ces Notes par 
YH +a =O, 10: + 519 — 0. 
Indiquons également les relations 
a(r + nt) =c(x) — ag. ter H(æ) — 2i, 
s(æ+nt)=s(x) +ili— g e #z]@(x) — 2i. 
2. Formules fondamentales pour s. — La liaison de s(æ) avec les formes 
quadratiques résulte surtout des deux développements suivants : 
à s'{æ) — g'(o) z i ; pa Me — m 
(2) gr es =—4 X (—1)"g" (— Tr)" cos cmd 
n=1 
4n 
(3) Die) — Cr 3e (him, ny in LES 
— ani 
c T. 
