SÉANCE DU 23 OCTOBRE 1916. 413 
Dans ces formules, les sommes X portent sur les classes de formes qua- 
In 
dratiques binaires et positives, de l’ordre propre, et de discriminant 4r; 
on désigne respectivement par m,, M,, m (avec m,=m,), les deux minima 
impairs et le minimum pair d’une de ces classes. 
De (2) on déduit, en chassant @(x) et égalant les coefficients de g dans 
les deux membres, N représentant un entier positif donné arbitrairement, 
(4) > (— 1)" cos p -= DE =- 2d'cos2d'x + (— PT 20(— 1). 
4LN— 4k 
La première somme s’étend aux classes positives (ordre propre) des dis- 
criminants 4N — 44°, où k prend les valeurs o, +1, +2, ..., AN — 4%’ res- 
tant positif. Au second membre, X porte sur les décompositions en 
facteurs N — d'd, où d', d' sont entiers positifs, de méme parité, et d'£d'; 
la somme ¥” te sur B décompositions N = àè,, où è et 0, fiers 
positifs, sont de parités contraires et <3,. Ajoutons que, dans X’, si d —d,, 
le terme correspondant doit être divisé par 2. 
On déduit de (4), en désignant par o(u) une fonction paire quelconque, 
finie pour toute valeur entière de u, et telle que ọ(0) = 0, la relation plus 
simple 
(5) > ea (= +34) = 2 ed gea) 
4N— kt 
qui, si l’on y Joint celle obtenue en faisant æ = o dans (4), est équivalente 
à (4 
De même (3) donne la formule suivante, où f désigne une fonction im- 
Paire quelconque, 
(6) D Le (m+ mm) JS +ak)=—Y da, 
bN— 4k? 
£ et XY étant définies en tout comme ci-dessus. 
3. Conséquences arithmétiques. — On en obtiendra de nombreuses, en 
variant la forme des fonctions ọ et f dans (5) et (6). 
D'abord, en faisant + = o dans (4), on trouve la relation 
his 4 " < 
(7) E o O aô— 1), 
4N—4 k? 
C. R., 1916, 2° Semestre. (T. 163, N° 17.) 
