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qui est de même nature que les formules classiques de Kronecker, sur les 
nombres de classes, mais en diffère en ce qu’une classe est comptée positi- 
vement ou négalivement selon que son minimum pair, m, est ou non 
multiple de 8. 
Il convient d'observer que, dans les formules précédentes et dans les 
suivantes, les sommes £’ sont nulles, par leur définition même, quand 
N= 2 mod4; de même les sommes X”, quand N est impair, 
Si nous remplaçons, dans (5), o(x) par æ*, nous trouverons, après 
quelques transformations faciles et en utilisant (7), 
À (—1)"| m?— 2 M( M, + Ma) + 2(M,— m)? | 
N— 4k? 
1 f n 
SIP K —d')— 32(—1) Ñ, (ia. 
Si, dans (3), nous faisons e = x, nous aurons de suite 
fsi | { 
as (— 1) | m3 — mi — m(m,— M) | = — 16 H3 
4N— 4k? ti 
formule analogue à la précédente. 
Dans cette dernière, en passant des classes (ordre propre) de discrimi- 
nants 4N — 44? à celles de discriminants N — $’, où k = 0, +1, +2,..., 
et N — Æ `> o, on obtient 
(8) Dom m(m+ m) — (mm) = AA ni 
N— 4 
J'ai déjà indiqué cette formule (Comptes rendus, t. 450, 1910, p.436); ici 
elle apparaît comme cas particulier de la relation bien plus générale (6). 
4. L'équation (2) peut prendre, par l'introduction des classes de discri- 
minant z (au lieu de 4n), la forme suivante, où ne figure plus aucune puis- 
sance de (— 1), 
e(2)Y gr Y [(m— m) sin(m + m;— m,)2 + (m,—m)sin(m + m— m )s] 
er e DEL sin 2 dz; 
Nt 
elle donnerait lieu à une relation analogue à (6). Si nous y faisons 
