SÉANCE DU 23 OCTOBRE 1916. 415 
I : r , | 
v= 77, et si nous égalons les coefficients de g“ dans les deux membres, 
nous obtenons une identité lorsque N est pair; pour N—2M +1, en 
examinant successivement les cas de M pair et de M impair, nous trouvons 
deux formules, qu'on peut résumer en celle-ci : 
EG) Em 
2M+1—4k ` 
A T . . . I . Li, 
v désigne = (m, — m,) si M est impair, et CR, +m,) — m si M est pair; 
la somme X porte sur les décompositions 2M + 1 = d'd!, avec d' Sdi et, 
sid = d', on divisera par 2 le terme cognomen de X. Enfin ( CN < =) 
M—1 
est lesymbole ordinaire de Jacobi, égal à(— 1ÿ ou à es 1) 7, selon que 
M est pair ou impair. 
Nous ‘avons déjà trouvé cette formule, mais seulement dans le cas de 
M impair, et isolément (Comptes rendus, t. 150, 1910, p. 434). 
Dans toutes ces relations, si l’on rencontre une classe telle que (a, o, a), 
on divisera par 2 l'énsémblé des termes qui en proviennent. 
On aurait, avec s(x), deux formules fondamentales, analogues à (2) 
et (3), que, pour abréger, nous ne transcrirons pas ici, et qui donneraient 
également des conséquences arithmétiques nouvelles; nous préférons 
indiquer comment s(æ) se rattache à une théorie classique. 
. Liaison avec les recherches de M. Appell. — On sait que M. Appell, pour 
la ee en éléments simples des fonctions elliptiques de troisième 
espèce, a eu l'idée féconde d'introduire, non pas seulement une fonction 
d’une variable, telle que l'élément simple, RER — a), d'Hermite, mais une 
véritable faskon de deux variables; nous n’aurons à considérer ici que sa 
fonction d'ordre un, y,(a, z=), et, pour rester d’accord avec nos notations, 
nous ferons, dans les formules de M. Appell (Annales de l'Ecole Normale, 
3° série, t. 1, 1884), 2K =z; 21K'=— #7. Partons alors de la relation sui- 
vante, due à éminent géomètre (!) : 
H, (a) 
(9) RIT 
; ; H’ T H $ l 
asy a 2) H (=— z) sms nt — a) + W(a), 
(') Voir aussi Harpnes, Fonctions elliptiques, t. 1, p. 481, où la relation (9) est 
présentée sous une forme équivalente. 
