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la fonction entière W(a) ayant pour expression (Jbid.) 
rai È rt hs Lsinan (a ©). 
On en déduit 
was Z)=i—s(a), 
Y 2 2 
et, par la formule (1) ci-dessus, 
ei 
(10) v(a+Ẹ)=— oa) taaie), 
d’où la liaison entre c(a) et la fonction entière rencontrée par M. Appell. 
Cela posé, remplaçons, dans (9), a et z par a + i, z+ LT et tenons 
compte de (10); nous trouvons 
(11) me | (a+ »3+— =) (og ee | = rte) = a: 
Désignons par £(a, z) la fonction entre crochets au premier membre : 
H(a), 
H(:)° 
(12) 
(a,5)= E(3)— a) — ela); 
celte fonction mt des propriétés analogues à celles de y,; en particu- 
lier, elle peut remplacer y, comme élément simple, car elle devient infinie, 
et de la même manière que J1, pour z= a; elle a, sur y,, en vertu même 
de (12), l'avantage d’être impaire par rapport à l’ensemble a, z, c'est-à-dire 
que Ë(—a, — 3) = — (a, 3). 
Son développement est 
éla gje — 91 dés CE es antn e?nis 
ab e2fta—3) __ g nE , 
n =— o 
ct l’on a les formules 
(13) É(a;stmr)=—qg'et#E(a,s), 
| É(aæ+rr, 2) = 9 etia Ê(a,=)—2q"eitH(a). 
6. On peut aussi rattacher directement à £, donc à l’élément simple de 
M. A ppell, les fonctions numériques entières (4,, $, €, ...) de nos deux 
Notes de 1914 (‘); on a, par exemple, 
(a) Fe. T TT 
iHd = Tr qe or -F), 
2 
(') Comptes rendus, t. 143, 1914, p. 220 et 293, 
