SÉANCE DU 23 OCTOBRE 1916. 417 
où Ü—@(0), et une relation analogue a lieu pour Y(a). Dès lors, la 
méthode de décomposition de M. pi conduit de suite à la formule 
n° =i s -g 
; 56, = 
obtenue autrement dans ma première Note ('), et qui m'a donné des consé- 
quences arithmétiques. 
L'élément £ mène à d'autres fonctions numériques intéressantes. 
Observons en effet que (a, 2) H (a — z) est une fonction entière, V(a, 3), 
de a et de z; on voit, par (13), que, considérée comme fonction de z, c’est 
un thêta d'ordre deux, et l’on en déduit l'expression 
(14) V(a, z) = o(a)@,(25 — a, q7) + ga) Hi(23 — a, q°), 
9,(a) et 9, (a) étant des fonctions entières de a, pour lesquelles on trouve 
les développements arithmétiques : 
ọı (4) = 25 jrn que NE ODE 
8n+1 
1 g kisi 
ji nea Da : S (—1) ? cosBa. 
tai S8n—1 
Les sommes S’ et S” portent respectivement sur les représentations 
8n+ti—=a— 26, 
avec q, B entiers, 
Bo x >2|6|. 
e eor 
Sans développer ici les conséquences arithmétiques de (14), nous indi- 
querons un autre lien entre ©,, ®, et nos fonctions pe mc) on a, en 
effet, avec nos notations habituelles (loc. cit.), 
(as T) +50 (a+ 7) =o, 
Ti; 5 
PLANS GT an, p iE TE g) 
3 
aana 
(1) Je signale ici quelques fautes d'impression au Tome 158 des Comptes rendus : 
Au lieu de : Lire : 
Page 223, équation (12)....... {2h +3) f(2k+1) 
Page 224, équation (13)....... f(x) f(x) 
Page 224, équation (15)....... fx) fia) 
Page 293, ligne 10 du n°1,..,, 6?H,(»)@(y) 0H (y) 8(y); 8N) 
