418 ACADÉMIE DES SCIENCES, 
d'où de nouvelles identités arithmétiques. Par exemple, F désignant une 
fonction paire d'une variable, et N un entier positif donné, non carré, on a 
ai 
S (=) T F(p +k) =o, 
X s'étendant aux représentations 
8N +1= 2k + anap? 
avec œ, B, k entiers, 
; k et 620 et a 2|6|. 
Ajoutons enfin que, si l’on regarde V(a, z) comme fonction des deux 
variables indépendantes u = a — z et v = z, elle est symétrique par rapport 
à u et v, ce qui justifie encore l'introduction de l'élément £(a, 2). 
Le Prince Boxaparre fait hommage à l’Académie du deuxième fascicule 
de ses Notes ptéridologiques qu’il vient de publier. Dans ce travail on trouve 
les résultats de l’examen que l’auteur a fait d'environ 1880 spécimens de 
Ptéridophytes qu’il a eu à étudier et qui proviennent surtout d'Afrique. Il 
donne les déterminations de 684 espèces et de 156 variétés dont beaucoup 
sont différentes. Deux espèces et treize variétés sont nouvelles. 
En présentant ces Notes l’auteur fait remarquer la difficulté qu'il y a à 
séparer entre elles beaucoup d’espèces dont les limites sont souvent bien 
mal définies et floues. Il attache une grande importance aux petits carac- 
-tères dits caractères jordaniens à cause de leur grande fixité dans la nature. 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zéros de (s) de Riemann. 
` Note de M. C. pe na VaiLée Poussins. 
1. M. G.-H. Hardy a découvert (') que {(s), où s = c + čt, a une infinité 
de racines sur la droite c = =: Je vais prouver que le nombre de ces racines 
pour lesquelles |t| est < T infiniment grand n'est pas d'ordre inférieur à VE. 
Je ne considère ici que les racines d'ordre impair et je ne les compte qu'une 
fois si elles sont multiples (°). 
(*) Comptes rendus, t. 158, 1914, p. 1012. 
(*) M. Landau a abordé le même sujet et étendu le théorèmé de M. Hardy aux 
fonctions liées à la progression arithmétique (Math. Ann., B. T6, 1915). 
