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Si les limites supérieure et inférieure d'indétermination des moyennes de 
Cesäro, indice = 1, d'une série trigonométrique, dont les coefficients convergent 
vers zéro, sont sommables, et partout finies sauf aux points d’un ensemble sans 
parties par faites, la série est une série de Fourier. 
On trouve aussi que la convergence par les moyennes de Cesàro d’une 
série de Fourier résulte de conditions beaucoup moins strictes que ne 
demande la convergence ordinaire. Après M. Fejér, M. Lebesgue et 
d’autres géomètres se sont occupés de ces questions. Je me propose de faire 
ici quelques remarques à propos des critériums obtenus. 
- I. Ils sont liés plutôt aux séries dérivées des séries de Fourier qu’à ces 
dernières séries elles-mêmes. Ceci résulte du théorème, facilement démontré, 
que la convergence (Cp) (‘) de sa p°”: série dérivée d'une série de Fourier 
dans un point x, ne dépend que des valeurs de la fonction dans le voisinage de. 
ce point. Ainsi, en tenant compte de ce fait, les procédés employés par les 
auteurs cités conduisent à des extensions bien sensibles de leurs théorèmes. 
` 
Il. Pour obtenir ces critériums, la méthode à employer n’est pas la 
méthode directe. Il vaut mieux, comme je l’ai remarqué il y a quelques 
années, les déduire des conditions de convergence ordinaire des séries de 
Fourier. On obtient en effet des crilériums pour la convergence (Cp) de 
la pième série dérivée de la série de Fourier de f(x), comme conséquence 
immédiate des conditions de convergence ordinaire au point u = o de la 
série de Fourier d’une fonction auxiliaire, 
Ge u) 2 ft ul 
pi(u)— 
pour la première, 
ce pr m 
pour la seconde dérivée, et ainsi de suite. 
Comme exemple des eA ainsi obtenus, prenons le suivant : 
La première série dérivée de la série de Fourier de f(x) converge (C,) dans 
un point x où f(x) possède une dérivée généralisée, pourvu que dans un vot- 
sinage de u = o, aussi petit que l’on veut, 
pf halster u) (eu) 
(t) (Cp) signifie, par les moyennes de Cesåro, indice p. 
