SÉANCE DU 23 OCTOBRE 1916. 429 
soit bornée. Ou bien, la seconde série dérivée converge (C,) dans un point x 
où f(x) possède une seconde dérivée généralisée, pourvu que 
1 Ji d(f(z+u)+f(z—u)—3f(x)] 
u ° t 
soit bornée dans un tel voisinage. 
Pour la démonstration on emploie une légère extension du théorème que 
j'ai donné le 21 août dernier ('). 
Ces résultats contiennent plusieurs cas spéciaux intéressants, entre autres 
ceux de MM. Fejér et Lebesgue, et celui où les nombres dérivés de f(æ) 
sont continus au point considéré. D'autre part, le premier'des deux résultats 
nous donne la réponse affirmative pour une fonction bornée (x) à la ques- 
tion posée par M. Lebesgue à propos de la convergence (C, ) de la série de 
Fourier de ọ( x). On en conclut, en effet, que si, dans un intervalle (a, b), 
f(æ) est l'intégrale d'une fonction bornée o(x), la première série dérivée de 
la série de Fourier de f(x) converge (C,) dans chaque point x de (a, b) 
où f(x) possède une dérivée. Par contre, le résultat actuellement obtenu 
par M. Lebesgue, où (C,) remplace (C,), rentre dans un corollaire ana- 
logue au second des deux résultats. 
Nous signalerons un corollaire d’un autre genre, qui généralise le théo- 
rème de M. Lebesgue, qu'une série de Fourier converge (C,) presque 
partout : 
La premiére série dérivée de la série de Fourier d'une fonction qu est une 
intégrale dans un intervalle quelconque (a, b) converge (C,) presque partout 
en (a, b). 
HI. Si la fonction f(æ) est à variation bornée, il est permis d'écrire 
(C, p — 1 + #) au lieu de (Cp) dans le théorème cité sous (1), # étant une 
quantité positive quelconque, (o < #). Nous arrivons donc dans la majorité 
des cas à faire la modification correspondante en (II), e. g. dans les 
exemples cités. 
IV. Cependant ce n’est que très exceptionnellement que la pi" série 
dérivée converge (C, p — 1). Pour cela, il faudrait des conditions excep- 
tionnelles. Mais de tels cas existent et ne sont pas sans intérêt. Pour le voir 
il suffit de prendre p = 1 ; la premiére série dérivée de la série de Fourier d’une 
Jonction f(x) paire, qui est une intégrale sauf à l’origine, converge (Co), 
(') Comptes rendus, L. 163, 1916, p. 187. 
C. R., 1916, 2° Semestre. (T. 163, N° 17.) 
