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c’est-à-dire ordinairement, au point x(x70), st 
(14) lim uf'(u) = 0 et lim = bé sp 
ou bien 
I it 
(1b) meer f{u) du 
est une intégrale, qui converge vers zéro quand u s'approche de zéro; supposant 
remplie une condition (2) quelconque qui nécessite la convergence ordinaire 
au point x de la série de Fourier d'une fonction sommable égale à f'(x) 
presque partout dans le voisinage du point x considéré, 
V. Si au lieu d’un point unique on envisage un intervalle de valeurs +, 
la convergence signalée devient uniforme, si la série auxiliaire converge 
uniformément. Ainsi, on généralise facilement les théorèmes sur l'inté- 
gration terme à terme. On aura, par exemple, le suivant : 
La première série dérivée de la série de Fourier de f(x) multipliée par 8(x), 
el intégrée terme à terme de a jusqu'à b, converge (C1) vers $> g( z) sA -dæ 
+ 
pouvu qu’une des conditions suivantes soit remplies : 
1° g(x) est bornée et f(x) sommable, ou vice versa ; 
TIIRA 
2 [g(æ)]r+ ge API 
VI. Remarquons aussi que la série de Fourier d’une fonction à variation 
bornée converge (C, #— 1)en chaque point (o < k), et que, si la fonction 
est une intégrale, on aura même (o< k 
sont sommables (0 <a). 
VIL. En conclusion, c’est à signaler qu’il y a une théorie analogue, où la 
série alliée remplace la série de Fourier. 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries à termes positifs et sur les fonctions 
dérivées. Note de M. D. Pompeiu, présentée par M. Appell. 
1, Soit 
(1) S> at aite et Aant 
une série à termes positifs, que je suppose convergente. Je pose 
Sr — dit ai a EC a à SEC D 
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