SÉANCE DU 23 OCTOBRE 1915. 431 
et je forme le rapport 
a a 
— — = (O0 er) 
Fa Ant artis. 
Pn = 
Lorsqu'on fait tendre n vers l'infini les nombres s, formant un ensemble 
borné, cet ensemble admet au moins un élément limite o. Si ce nombre 
limite est unique, nous dirons que la convergence de la série (1) est 
régulière. 
Dans le cas de la convergence régulière le nombre p peut servir Comme 
une indication relative à la rapidité de la convergence : des exemples 
sim ples 
e= Dip a (9<1), tn D 
o 1 
pourront illustrer cette remarque. 
On peut appeler, dans le cas où p — o, la convergence de (1) extrémement 
faible et, dans le cas où pọ = 1, convergence extrémement forte. 
Sans insister davantage sur les indications qu'on peut tirer du nombre p 
relativement à la convergence de (1), je me propose de montrer comment la 
notion de convergence extrèmement faible s'introduit dans une question 
concernant les fonctions dérivées. 
2. On sait qu’une fonction dérivée est, en général, discontinue. Des pro- 
priétés intéressantes de ces fonctions ont été mises en évidence par MM. Dar- 
boux, Baire, Lebesgue, etc. Mais on ne connaît pas, à ce que je sais, un 
système simple de conditions pour exprimer, d’une façon nécessaire et 
suffisante, qu’une fonction discontinue donnée est une fonction dérivée. 
On a, il est vrai, un procédé régulier de calcul permettant de reconnaitre 
si la fonction donnée f(x) est, vu non, une dérivée : c’est une recherche de 
limite pour une certaine expression ('). Mais ce procédé de calcul exprime 
plutôt une condition théorique et il est toujours intéressant de pouvoir la 
transformer en une condition de caractère plus pratique. C’est pourquoi 
J espère que l'exemple précis que je vais considérer ici pourra présenter 
quelque intérêt. 
Je prends le cas simple d’un seul point de discontinuité ct, pour la sim- 
plicité aussi, je placerai cette discontinuité à l'extrémité b de linter- 
valle (a, b) où f(x) se trouve définie. Ainsi f(x) est continue en a et 
(') Voir Lesesque, Leçons sur l'intégration, p. 82. 
